對稱

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1釋義詞目:對稱

拼音:duì chèn英文:symmetry

基本解釋:

[symmetry;symmetrical] 指圖形或物體兩對的兩邊的各部分,在大小、形狀和排列上具有一一對應的關係

詳細解釋:

1. 指第二人稱。

朱自清《你我》:「利用呼位,將他稱與對稱拉在一塊兒。」

2. 物體或圖象對某一點、直線或平面而言,在大小、形狀和排列上相互對應。

洪深《戲劇導演的初步知識》:「畫面構成的第一條原則是『對稱』:左右相等,不偏不倚。」

2關於《對稱》[1]《對稱》是舉世聞名的大手筆小冊子,是作者大學退休前「唱出的一支天鵝曲」,它由普林斯頓大學出版社將外爾(C.H.H.Weyl,曾譯作魏爾或者凡爾)退休前的系列講座彙編而成書。據說許多百科全書的「對稱」條目都將外爾的這部小書列為主要參考文獻。

3守恆律與對稱性的聯繫可以肯定的是,楊振寧1962年出版的《原子物理中某些發現的小史》(中譯本為《基本粒子發現簡史》,上海科學技術出版社1963年出版)引用過(譯名為凡爾),楊先生引的那句話「不對稱很少僅僅由於對稱的不存在」,已成為深刻的哲理名言。我寫《分形藝術》時,也裝潢門面,把外爾和楊先生的話一併引了。在自然科學數學上,對稱意味著某種變換下的不變性,即「組元的構形在其自同構變換群作用下所具有的不變性」,通常的形式有鏡像對稱(左右對稱或者叫雙側對稱)、平移對稱、轉動對稱和伸縮對稱等。物理學中守恆律都與某種對稱性相聯繫。

4「對稱」的含義在日常生活中和在藝術作品中,「對稱」有更多的含義,常代表著某種平衡、比例和諧之意,而這又與優美、莊重聯繫在一起。外爾的書首先用一章講鏡像對稱,涉及手性諸問題,有十分豐富的內容。大家也許還記得,2001年諾貝爾化學獎獎勵的課題主要是「手性分子催化」問題。如今,手性藥物藥品市場佔有相當的份額,有機分子手性對稱性已經是相當實用和熱門的話題。這裡面仍然遺留下許多基本的問題沒有解答,比如生命基物質中的氨基酸核酸的高度一致性的手性(即手性對稱破缺)是如何起源的?植物莖蔓的手性纏繞是由什麼決定的?同種植物是否可能具有不同的手性? 左右對稱在建築藝術中有大量應用,但是人們也注意到完全的左右對稱也許顯得太死板,建築設計者常用某種巧妙的辦法打破嚴格的左右對稱,如通過園林綠化或者通過立面前的雕塑或者廣場非對稱布局,有意打破嚴格的對稱。通常,嚴格左右對稱的建築,都盡可能放在了具有非對稱的周圍環境之中。 公眾可能較感興趣的是作者對摩爾文化、埃及和中國實際裝飾藝術品中對稱性的分析。在二維裝飾圖案中,總共有17種本質上不同的對稱性。作者說,在古代的裝飾圖案中,尤其是古埃及的裝飾物中,能夠找到所有17種對稱性圖案。到了19世紀,有了變換群的概念以後,人們才從理論上搞明白只有17種可能性(波利亞的證明),而古人確實窮盡了所有這些可能。外爾有一句話特別值得注意:「雖然阿拉伯人對數字5進行了長期的摸索,但是他們當然不能在任何一個有雙重無限關聯的裝飾設計中,真正嵌入一個五重中心對稱的圖案。然而,他們嘗試了各種容易讓人上當的折衷方案。我們可以這樣說,他們通過實踐證明了在飾物中使用五邊形是不可能的。」(pp.102-103)這一論述非常關鍵,阿拉伯裝飾藝術的確時常費力地嘗試使用五次旋轉對稱。連續裝飾圖案中嵌入五次對稱圖元的麻煩之處在於,五次對稱要涉及黃金分割,安排下一個五邊形,則周圍需要作複雜的調整,這要比安排三角形、四邊形和六邊形的情況複雜得多。《對稱》還用相當篇幅講晶體點陣的對稱性,我當年學過結晶學和礦物學,知道這是相當複雜的事情,現依稀記得32種單形和230種空間群的數字,具體內容已經想不清楚了。外爾的處理當然並非想具體展示各種可能的晶格對稱性,書中討論得相當簡略,這也給普通諸者閱讀造成了困難。要想真正搞明白230種空間群,還真要讀地質學的圖書《結晶學與礦物學》。

5生物形態的對稱一般指圖形和形態被點、線或平面區分為相等的部分而言。在生物形態上主要的對稱分為下列各種:(1)輻XX對稱:與身體主軸成直角且互為等角的幾個軸(輻XX軸)均相等,如果通過輻XX軸把含有主軸的身體切開時,則常可把身體分為顯鏡像關係的兩個部分。例如海星可見有五個輻XX軸。另外在高等植物的莖和花等,也常具有輻XX對稱的結構;

(2)雙輻XX對稱:只有兩個輻XX軸,彼此互成直角,形式上可以把它看成是從輻XX對稱向左右對稱的過渡型(例如櫛水母);

(3)左右對稱:或稱兩側對稱,是僅通過一個平面(正中矢面)將身體分為互相顯鏡像關係的兩個部分(例如脊椎動物的外形)。在正中矢面內由身體前端至後端的軸稱為頭尾軸或縱軸,這個軸與身體長軸大都一致。在正中矢面內與頭尾軸成直角並通過背腹的軸為背腹軸或矢狀軸。還有與正中矢面成直角的軸稱正中側面軸(或內外軸)、該軸夾著正中矢面,彼此相等且具有方向相反的極性,如果將兩側的正中側面軸合起來看成為一軸時,則稱為橫軸。在輻XX對稱中,如相當於海星的一根足的同型部分,稱為副節(paramere),副節其本身成兩側對稱。一般兩側對稱的每一半為與同一軸相關而極向相反的同型部分,此稱為對節或體輻。副節、對節等的同型部分,一般來看,僅相互方向不同,可認為這是與對外界的關係相同有著密切的聯繫。所以在個體發生或系統發生過程中其生活方式變化時,而與之相關的對稱類型也時有變化。例如棘皮動物在自由運動的幼體期具有左右對稱的體制,在接近靜止生活的成體,則顯有輻XX對稱的體制。再如比目魚等左右體側可成為二次的背腹關係。把無對稱的關係稱為非對稱(asy-metry),其中具有規則形態的在生物界可廣泛見到的有螺旋性。此外還有即使外形上表現對稱,但與外界無直接關係的內臟,基本既可表現為對稱的,也有不少由於形態變形而表現為不對稱的。

6簡介中心對稱和中心對稱圖形是兩個不同而又緊密聯繫的概念.它們的區別是:中心對稱是指兩個全等圖形之間的相互位置關係,這兩個圖形關於一點對稱,這個點是對稱中心,兩個圖形關於點的對稱也叫做中心對稱.成中心對稱的兩個圖形中,其中一個上所有點關於對稱中心的對稱點都在另一個圖形上,反之,另一個圖形上所有點的對稱點,又都在這個圖形上;而中心對稱圖形是指一個圖形本身成中心對稱.中心對稱圖形上所有點關於對稱中心的對稱點都在這個圖形本身上.如果將中心對稱的兩個圖形看成一個整體(一個圖形),那麼這個圖形就是中心對稱圖形;一個中心對稱圖形,如果把對稱的部分看成是兩個圖形,那麼它們又是關於中心對稱.

也就是說:

① 中心對稱圖形:如果把一個圖形繞著某一點旋轉180度后能與自身重合,那麼我們就說,這個圖形成中心對稱圖形。

②中心對稱:如果把一個圖形繞著某一點旋轉180度后能與另一個圖形重合,那麼我們就說,這兩個圖形成中心對稱。

7中心對稱圖形正(2N)邊形(N為大於1的正整數)、線段、圓、平行四邊形、直線等。

實際上,除了直線外,所有中心對稱圖形都只有一個對稱點。

8既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形:不等腰三角形,直角梯形,普通四邊形

9中心對稱的性質①關於中心對稱的兩個圖形是全等形。

②關於中心對稱的兩個圖形,對稱點連線都經過對稱中心,並且被對稱中心平分。

③關於中心對稱的兩個圖形,對應線段平行(或者在同一直線上)且相等。

識別一個圖形是否是中心對稱圖形就是看是否存在一點,使圖形繞著這個點旋轉180°后能與原圖形重合。

中心對稱是指兩個圖形繞某一個點旋轉180°后,能夠完全重合,稱這兩個圖形關於該點對稱,該點稱為對稱中心.二者相輔相成,兩圖形成中心對稱,必有對稱中點,而點只有能使兩個圖形旋轉180°后完全重合才稱為對稱中點.

10中心對稱的概念把一個圖形繞著某一點旋轉180°,如果它能與另一個圖形重合,那麼就說這兩個圖形關於這個點對稱或中心對稱(central symmetry),這個點叫做對稱中心,這兩個圖形的對應點叫做關於中心的對稱點。

11輻XX對稱動物輻XX對稱動物Radiata是左右對稱動物的對應詞。顧維爾(G.L.Cuv-ier)把大部分的棘皮動物、腔腸動物、海綿動物、扁形動物滴蟲類命名為輻XX對稱動物。馮·西波德(K.T.von Siebold)把棘皮動物、腔腸動物、海綿動物總稱為輻XX對稱動物。以後,被命名為腔腸動物(有時也包括棘皮動物)。

眾所周知,諾貝爾獎得主李政道與楊振寧的分裂,是華人物理學界一段著名的公案。儘管李、楊分裂已長達半個世紀,如今他們已分別83歲和87歲高齡,但是時間並沒有消弭他們之間的恩怨。

12對稱:科學與藝術科學和藝術都很重視對稱性。對於科學,對稱性決定了各種可能的守恆定律,因而具有更根本性的意義。在藝術中,對稱性常與平衡、形狀、形式、空間等一同討論。人們通常從靜態表現上理解對稱性,有一定意義,但更重要的是從操作意義上、從生成過程上理解對稱性。

一在科學中,對稱性是指某種操作下的不變性或者守恆性,對稱性常與守恆定律相聯繫。與空間平移不變性對應的是動量守恆定律;與時間平移不變性對應的是能量守恆定律;與轉動變換不變性對應的是角動量守恆;與空間反XX(鏡像)操作不變性對應的是宇稱守恆。在弱相互作用中,「宇稱」不守恆,自然界在C或P下不是對稱的,在CP下也不是對稱的,但卻是CPT對稱的。這裡C表示電荷變號操作,相當於反轉變換,如由底片洗出照片,電子變正電子,物質變反物質;P表示鏡像反XX操作,如人照鏡子;T表示時間反演操作,如微觀可逆過程。也就是說,當同時把粒子與反粒子互變(C)、左與右互變(P)、過去與未來互變(T),自然界又是對稱的。

但把物質的宇稱、超荷、同位旋等所有物理性質都加起來考慮,會發現它們總體上並不守恆,即對稱性有破缺。人們假設,這是只考慮「物質」的結果,如果把「真空」也算在內,就有可能找回「失去的對稱性」,總體上這世界仍然是對稱的、守恆的。問題是,到目前為止,科學家對真空的了解還不夠多。為什麼CP不守恆,而CPT就守恆?CPT守恆意味著什麼?CPT真的永遠守恆嗎?這都是些非常重要而艱難的問題,還有很大一部分需要科學家進一步研究來解答。

對稱性是第一世界固有的,還是第二世界強加於其上的?是自然界的屬性,還是自然科學中物理定律的屬性?或者問,對稱性是客觀的,還是主觀的?一種簡便的而肯定的回答是,對稱性是客觀的、自然世界固有的屬性。這也是過去流行的觀點,但此觀點對於解決問題並不比相反的觀點更具有優勢。如果把認識世界視為一個複雜的、不斷進步的過程,理解對稱性也要放在一個過程之中進行,在此認識系統中,「屬性」的詞彙是不恰當。如果仍然保留「屬性」一詞,它也只能指對象在某種條件下表現出來的功能,這也可以稱作「條件主義」科學哲學。條件也即約束,可對應于某種操作,標示某種認識層次。對稱性原理均根植于「不可觀測量」的理論假設上;不可觀測就意味著對稱性,任何不對稱性的發現必定意味著存在某種可觀測量。(李政道)那麼「不可觀測」是不是由於我們認識能力而導致的一種假相呢?

李政道說:「這些『不可觀測量』中,有一些只是由於我們目前測量能力的限制。當我們的實驗技術得到改進時,我們的觀測範圍自然要擴大。因而,完全有可能到某種時候,我們能夠探測到某個假設的『不可觀測量』,而這正是對稱破壞的根源。然而,當確實發生這樣的破壞時,一個更深入的問題是,我們怎麼能夠確信這不是意味著世界不對稱呢?是否有可能,自然界基本規律仍然是對稱的?是自然規律不對稱,還是世界不對稱?這兩種觀點究竟有什麼區別呢?」[2]此論述概括了理論物理學的認識過程,更涉及一些基本的哲學問題。

當年數學家魏爾(H.Weyl)在討論藝術作品中的對稱性時,提到西方藝術像其生活一樣,傾向緩解、放寬、修正,甚至打破嚴格的對稱性,接著有一名句:「但是不對稱很少是僅僅由於對稱的不存在。」(《對稱》,商務1986,第11頁)楊振寧引用了魏爾的話,並加上一句評論:「這句話有物理學中似乎也是正確的。」(《基本粒子發現簡史》,上海科技1979,第58頁)我們則又加一句,無論對於科學還是藝術,「同樣,找到對稱也絕對不是僅僅由於非對稱的不存在。」[3]

科學和藝術都是講究對稱性的,對稱性意味著某種規則,很難想象像科學與藝術如此宏大而不斷積累的人類文明會沒有規則,雜亂無章。那麼是否可以推論出,科學與藝術只關注規則、對稱性,並且只有對稱的東西才稱得上科學與藝術呢?答案是否定的。李政道1996年5月23日在中央工藝美術學院的演講中曾指出:「藝術與科學,都是對稱與不對稱的巧妙組合。」這無疑是正確的。對稱是美,不對稱也是美,準確說,對稱與對稱破缺的某種組合才是美。「單純對稱和單純不對稱都是單調。一個對稱的建築只有放在不對稱的環境空間中才顯得美,反之亦然。」[4]

無論對於科學還是對於藝術,對稱性都涉及不同的方面和不同的層次。不同方面指對稱的多樣性:平移對稱(連續裝飾花紋、花布)、旋轉對稱(穹窿、五角星、傘、晶體)、左右對稱性(建築立面、人體)及聯合操作對稱性(埃舍爾的《騎士圖》,類似CP操作)。不同方面還涉及局部與整體的關係,對稱性有長程整體對稱(如晶體),也有局部短程對稱(如准晶、凱爾特裝飾藝術),這些在科學與藝術作品中都有許多實例。不同層次指對稱性依賴於物質層次或者觀念層次,在不同的層次上對稱性可以很不相同,以人體為例,外表是左右對稱的,但內臟則不是,心臟通常靠近左側,腎等還是對稱的。凱爾特藝術(Celticart)有很強的規則性,可以明顯地發現少數基本結構在不同的層次上重複出現,不同層次的對稱性與對稱性破缺相互照應,細節豐富、層次分明,給予人以較強的裝飾效果。可以肯定地說,凱爾特藝術有意識地利用了伸縮變換不變性,即標度變換下的不變性,也就是自相似對稱性。特別有趣的是,在分形科學與藝術中,能夠觀察到各種對稱性,既有不同方面的也有不同層次的,通過復函數電腦迭代,非常容易地展示這些對稱性。

13「對稱案」重現江湖近日,楊振寧或將與《李政道傳》上法庭打官司。主要是圍繞季羡林之子、李政道助手季承撰寫的 《李政道傳》

《李政道傳》。楊振寧稱《李政道傳》有諸多不實之處,並再次強調,半個多世紀以來,他和李政道決裂的責任在李政道。昨日,季承表示,歡迎楊振寧「質疑」。因為回應越多,才能越有助於相關研究者和學界找到事情的真相。季承還表示,如果楊振寧要起訴他,他願意應訴。

據楊振寧說,《李政道傳》中,季承引用李政道的說法,認為宇稱不守恆的突破思想是李政道先提出的。對此,楊振寧表示,突破思想是兩個人在研究中「頓悟」的,而頓悟的是「楊」還是「李」,他也沒有鐵證,但他又稱「80%~90%的可信度是自己」,因為發現該定律最重要的是與對稱有關的係數,而對稱是他的專業,「所以才能想到這不尋常的一面」。

14圖書對稱圖書信息作 者:(德)外爾著,馮承天,陸繼宗譯

出 版 社:上海科技教育出版社

出版時間:2005-4-1 圖書對稱

版 次:1頁 數:171字 數:106000

印刷時間:2005-4-1開 本:紙 張:膠版紙

印 次:I S B N:9787542837882包 裝:平裝

內容簡介遵循現代人文教育和公民教育的理念,秉承通達民情,化育人心的中國傳統教育精神,大學經典依據中西文明傳統的知識譜系及其價值內涵,將人類歷史上具有人文內涵的經典作品編輯成為大學教育的基礎讀本,應時代所需,順時勢所趨,為塑造現代中國人的人文素養,公民意識和國家精神傾力盡心。開放人文旨在提供全景式的人文閱讀平台,從文學、歷史、藝術,科學等多個面向調動讀者的閱讀愉悅,寓學於樂,寓樂於心,為廣大讀者陶冶心性,培植情操

目錄序言及文章評註

雙側對稱性

平移對稱性、旋轉對稱性和有關的對稱性

裝飾對稱性

晶體·對稱性的一般數學觀念

附錄A 確定三維空間中由真旋轉構成的所有有限群

附錄B 計入非真旋轉

致謝

15清華大學出版社圖書圖書信息書名:Symmetries(對稱)

ISBN:9787302214786

作者:Johnson, D.L.著

定價:34元

出版日期:2009-11-1

出版社:清華大學出版社

圖書簡介本書研究空間幾何中的各種對稱,介紹相關的對稱群;以通俗易懂的方式講述幾何與群的本質,以及兩者之間的聯繫(即對稱)。書中有大量習題並附部分習題答案或提示。 本書是一本優秀的數學教材,適用於數學系本科生和其他專業對數學有興趣的本科生用作數學參考書或課外讀物。

目錄Contents 1. Metric Spaces and their Groups ............................ 1 1.1 Metric Spaces............................................ 1 -1.2- Isometries ...............................................-4 1.3 Isometries of the Real Line ................................ 5 1.4 Matters Arising .......................................... 7 1.5 Symmetry Groups........................................ 10 2. IsometriesofthePlane..................................... 15 2.1 Congruent Triangles ...................................... 15 2.2 IsometriesofDifferentTypes............................... 18 2.3 The Normal Form Theorem................................ 20 2.4 Conjugationoflsometries ................................. 21 3. Some Basic Group Theory.................................. 27 3.1 Groups.................................................. 28 A~m~ 3.2 Subgroups ............................................... 50 3.3 Factor Groups ........................................... 33 3.4 Semidirect Products ...................................... 36 4. Products of Reflections ..................................... 45 4.1 The Product of Two Reflections............................ 45 4.2 Three Reflections......................................... 47 4.3 Four or More ............................................ 50 5. Generators and Relations................................... 55 5.1 Examples................................................ 56 5.2 Semidirect Products Again ................................ 60 eoe Xlll xiv Contents ~ I ~ ~ I I I _ II I I I I I II I III ~ ~ I I I I I 15.3 Change of Presentation.................................... 615 ,5.4 Triangle Groups.......................................... 6[) 15.5 Abelian Groups .......................................... 70 6. Discrete Subgroups of the Euclidean Group ................ 7[) -15.-1- -Leonardo's Theorem ......................................-~Su 6.2 ATrichotomy............................................ 81 6.3 Friezes and Their Groups.................................. 83 6.,1 The Classification ........................................ 815 7 Plane Crystallographic Groups' OP Case 89 7.1 The Crystallographic Restriction ........................... 80 7.2 TheParametern......................................... Ol 7.3 The Choice of b .......................................... 02 7.4 Conclusion .............................................. 04 8. Plane Crystallographic Groups: OR Case................... 97 -8.-1--A Useful----Dichotomy ......................................--97 8.2 The Case n - 1 .......................................... 100 83 The Case n - 2 100 8 4 The Case n - 4 101 8 5 The Case n - 3 102 8 6 The Case n - 6 104 9. Tessellations of the Plane................................... 107 O.1 Regular Tessellations...................................... 107 9.2 Descendants of (4, 4) ..................................... 110 9.3 Bricks................................................... 112 9.4 Split Bricks.............................................. 113 9.5 Descendants of (3, 6) ..................................... 116 10. Tessellations of the Sphere.................................. 123 dMm~ 10.1 Spherical Geometry....................................... 123 10.2 The Spherical Excess ..................................... 125 -1--0.3 Tessellations of- the--Sphere.................................-1--28 1-0.-4 The-Platonic Solids.......................................-1-~30 10.5 Symmetry Groups........................................ 133 11. Triangle Groups ............................................ 139 11.1 The Euclidean Case....................................... 140 11.2 The Elliptic Case......................................... 142 11.3 The Hyperbolic Case...................................... 144 Contents xv I I I I I I I __ I II Ilml 11.4 Coxeter Groups . ......................................... 146 12. Regular Polytopes.......................................... 155 12.1 The Standard Examples................................... 156 12.2 The Exceptional Types in Dimension Four................... 158 12.8 Three Concepts and a Theorem ............................ 160 12.4 Schliifli's Theorem ........................................ 1og Solutions ....................................................... 167 Guide to the Literature......................................... 187 Index of Notation .............................................. 1Ol Index........................................................... 105

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