隨機變數

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隨機變數(random variable)表示隨機現象(在一定條件下,並不總是出現相同結果的現象稱為隨機現象)各種結果的變數(一切可能的樣本點)。例如某一時間內公共汽車站等車乘客人數,電話交換台在一定時間內收到的呼叫次數等等,都是隨機變數的實例。

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目 錄1概念

1.1 案例

1.2 概率

2性質

2.1 不確定性

2.2 基本類型

3詳細分析

3.1 表示方法

3.2 研究方法

1概念案例一個隨機試驗可能結果(稱為基本事件)的全體組成一個基本空間Ω。隨機變數X是定義在基本空間Ω上的取值為實數的函數,即基本空間Ω中每一個點,也就是每個基本事件都有實軸上的點與之對應。例如,隨機投擲一枚硬幣,可能的結果有正面朝上 ,反面朝上兩種 ,若定義X為投擲一枚硬幣時朝上的面 , 則X為一隨機變數,當正面朝上時,X取值1;當反面朝上時,X取值0。又如,擲一顆骰子,它的所有可能結果是出現1點、2點、3點、4點、5點和6點 ,若定義X為擲一顆骰子時出現的點數,則X為一隨機變數,出現1,2,3,4,5,6點時X分別取值1,2,3,4,5,6。

概率要全面了解一個隨機變數,不但要知道它取哪些值,而且要知道它取這些值的規律,即要掌握它的概率分佈。概率分佈可以由分佈函數刻畫。若知道一個隨機變數的分佈函數,則它取任何值和它落入某個數值區間內的概率都可以求出。

有些隨機現象需要同時用多個隨機變數來描述。例如 ,子彈著點的位置需要兩個坐標才能確定,它是一個二維隨機變數。類似地,需要n個隨機變數來描述的隨機現象中,這n個隨機變數組成n維隨機向量。描述隨機向量的取值規律 ,用聯合分佈函數。隨機向量中每個隨機變數的分佈函數,稱為邊緣分佈函數。若聯合分佈函數等於邊緣分佈函數的乘積 ,則稱這些單個隨機變數之間是相互獨立的。獨立性概率論所獨有的一個重要概念。

2性質不確定性隨機變數在不同的條件下由於偶然因素影響,其可能取各種 隨機變數

不同的值,具有不確定性和隨機性,但這些取值落在某個範圍的概率是一定的,此種變數稱為隨機變數。隨機變數可以是離散型的,也可以是連續型的。如分析測試中的測定值就是一個以概率取值的隨機變數,被測定量的取值可能在某一範圍內隨機變化,具體取什麼值在測定之前是無法確定的,但測定的結果是確定的,多次重複測定所得到的測定值具有統計規律性。隨機變數與模糊變數的不確定性的本質差別在於,後者的測定結果仍具有不確定性,即模糊性。

基本類型簡單地說,隨機變數是指隨機事件的數量表現。例如一批註入某種毒物的動物,在一定時間內死亡的只數;某地若干名男性健康成人中,每人血紅蛋白量的測定值;等等。另有一些現象並不直接表現為數量,例如人口的男女性別、試驗結果的陽性陰性等,但我們可以規定男性為1,女性為0,則非數量標誌也可以用數量來表示。這些例子中所提到的量,儘管它們的具體內容是各式各樣的,但從數學觀點來看,它們表現了同一種情況,這就是每個變數都可以隨機地取得不同的數值,而在進行試驗或測量之前,我們要預言這個變數將取得某個確定的數值是不可能的。

按照隨機變數可能取得的值,可以把它們分為兩種基本類型:①離散型隨機變數,即在一定區間內變數取值為有限個,或數值可以一一列舉出來。例如某地區某年人口的出生數、死亡數,某葯治療某病病人的有效數、無效數等。②連續型隨機變數,即在一定區間內變數取值有無限個,或數值無法一一列舉出來。例如某地區男性健康成人的身長值、體重值,一批傳染性肝炎患者血清轉氨酶測定值等。

3詳細分析表示方法隨機試驗結果的量的表示。例如擲一顆骰子出現的點數,電話交換台在一定時間內收到的呼叫次數,隨機抽查的一個人身高,懸浮在液體中的微粒沿某一方向的位移,等等,都是隨機變數的實例。

一個隨機試驗的可能結果(稱為基本事件)的全體組成一個基本空間Ω(見概率)。隨機變數x是定義于Ω上的函數,即對每一基本事件ω∈Ω,有一數值x(ω)與之對應。以擲一顆骰子的隨機試驗為例,它的所有可能結果見,共6個,分別記作ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6,這時,Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6},而出現的點數這個隨機變數x,就是Ω上的函數x(ωk)=k,k=1,2,…,6。又如設Ω={ω1,ω2,…,ωn}是要進行抽查的n個人的全體,那麼隨意抽查其中一人的身高和體重,就構成兩個隨機變數x和Y,它們分別是Ω上的函數:x(ωk)=「ωk的身高」,Y(ωk)=「ωk的體重」,k=1,2,…,n。一般說來,一個隨機變數所取的值可以是離散的(如擲一顆骰子的點數只取1到6的整數,電話台收到的呼叫次數只取非負整數),也可以充滿一個數值區間,或整個實數軸(如液體中懸浮的微粒沿某一方向的位移)。

研究方法在研究隨機變數的性質時,確定和計算它取某個數值或落入某個數值區間內的概率是特別重要的。因此,隨機變數取某個數值或落入某個數值區間這樣的基本事件的集合,應當屬於所考慮的事件域。根據這樣的直觀想法利用概率論公理化的語言,取實數值的隨機變數的數學定義可確切地表述如下:概率空間(Ω,F,p)上的隨機變數x是定義于Ω上的實值可測函數,即對任意ω∈Ω,x(ω)為實數,且對任意實數x,使x(ω)≤x的一切ω組成的Ω的子集{ω:x(ω)≤x}是事件,也即是F中的元素。事件{ω:x(ω)≤x}常簡記作{x≤x},並稱函數F(x)=p(x≤x),-∞ 查看更多相關文獻

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1概念1.1案例1.2概率2性質2.1不確定性2.2基本類型3詳細分析3.1表示方法3.2研究方法

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1概念案例一個隨機試驗可能結果(稱為基本事件)的全體組成一個基本空間Ω。隨機變數X是定義在基本空間Ω上的取值為實數的函數,即基本空間Ω中每一個點,也就是每個基本事件都有實軸上的點與之對應。例如,隨機投擲一枚硬幣,可能的結果有正面朝上 ,反面朝上兩種 ,若定義X為投擲一枚硬幣時朝上的面 , 則X為一隨機變數,當正面朝上時,X取值1;當反面朝上時,X取值0。又如,擲一顆骰子,它的所有可能結果是出現1點、2點、3點、4點、5點和6點 ,若定義X為擲一顆骰子時出現的點數,則X為一隨機變數,出現1,2,3,4,5,6點時X分別取值1,2,3,4,5,6。

概率要全面了解一個隨機變數,不但要知道它取哪些值,而且要知道它取這些值的規律,即要掌握它的概率分佈。概率分佈可以由分佈函數刻畫。若知道一個隨機變數的分佈函數,則它取任何值和它落入某個數值區間內的概率都可以求出。

有些隨機現象需要同時用多個隨機變數來描述。例如 ,子彈著點的位置需要兩個坐標才能確定,它是一個二維隨機變數。類似地,需要n個隨機變數來描述的隨機現象中,這n個隨機變數組成n維隨機向量。描述隨機向量的取值規律 ,用聯合分佈函數。隨機向量中每個隨機變數的分佈函數,稱為邊緣分佈函數。若聯合分佈函數等於邊緣分佈函數的乘積 ,則稱這些單個隨機變數之間是相互獨立的。獨立性是概率論所獨有的一個重要概念。

2性質不確定性隨機變數在不同的條件下由於偶然因素影響,其可能取各種 隨機變數

不同的值,具有不確定性和隨機性,但這些取值落在某個範圍的概率是一定的,此種變數稱為隨機變數。隨機變數可以是離散型的,也可以是連續型的。如分析測試中的測定值就是一個以概率取值的隨機變數,被測定量的取值可能在某一範圍內隨機變化,具體取什麼值在測定之前是無法確定的,但測定的結果是確定的,多次重複測定所得到的測定值具有統計規律性。隨機變數與模糊變數的不確定性的本質差別在於,後者的測定結果仍具有不確定性,即模糊性。

基本類型簡單地說,隨機變數是指隨機事件的數量表現。例如一批註入某種毒物的動物,在一定時間內死亡的只數;某地若干名男性健康成人中,每人血紅蛋白量的測定值;等等。另有一些現象並不直接表現為數量,例如人口的男女性別、試驗結果的陽性或陰性等,但我們可以規定男性為1,女性為0,則非數量標誌也可以用數量來表示。這些例子中所提到的量,儘管它們的具體內容是各式各樣的,但從數學觀點來看,它們表現了同一種情況,這就是每個變數都可以隨機地取得不同的數值,而在進行試驗或測量之前,我們要預言這個變數將取得某個確定的數值是不可能的。

按照隨機變數可能取得的值,可以把它們分為兩種基本類型:①離散型隨機變數,即在一定區間內變數取值為有限個,或數值可以一一列舉出來。例如某地區某年人口的出生數、死亡數,某葯治療某病病人的有效數、無效數等。②連續型隨機變數,即在一定區間內變數取值有無限個,或數值無法一一列舉出來。例如某地區男性健康成人的身長值、體重值,一批傳染性肝炎患者的血清轉氨酶測定值等。

3詳細分析表示方法隨機試驗結果的量的表示。例如擲一顆骰子出現的點數,電話交換台在一定時間內收到的呼叫次數,隨機抽查的一個人的身高,懸浮在液體中的微粒沿某一方向的位移,等等,都是隨機變數的實例。

一個隨機試驗的可能結果(稱為基本事件)的全體組成一個基本空間Ω(見概率)。隨機變數x是定義于Ω上的函數,即對每一基本事件ω∈Ω,有一數值x(ω)與之對應。以擲一顆骰子的隨機試驗為例,它的所有可能結果見,共6個,分別記作ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6,這時,Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6},而出現的點數這個隨機變數x,就是Ω上的函數x(ωk)=k,k=1,2,…,6。又如設Ω={ω1,ω2,…,ωn}是要進行抽查的n個人的全體,那麼隨意抽查其中一人的身高和體重,就構成兩個隨機變數x和Y,它們分別是Ω上的函數:x(ωk)=「ωk的身高」,Y(ωk)=「ωk的體重」,k=1,2,…,n。一般說來,一個隨機變數所取的值可以是離散的(如擲一顆骰子的點數只取1到6的整數,電話台收到的呼叫次數只取非負整數),也可以充滿一個數值區間,或整個實數軸(如液體中懸浮的微粒沿某一方向的位移)。

研究方法在研究隨機變數的性質時,確定和計算它取某個數值或落入某個數值區間內的概率是特別重要的。因此,隨機變數取某個數值或落入某個數值區間這樣的基本事件的集合,應當屬於所考慮的事件域。根據這樣的直觀想法,利用概率論公理化的語言,取實數值的隨機變數的數學定義可確切地表述如下:概率空間(Ω,F,p)上的隨機變數x是定義于Ω上的實值可測函數,即對任意ω∈Ω,x(ω)為實數,且對任意實數x,使x(ω)≤x的一切ω組成的Ω的子集{ω:x(ω)≤x}是事件,也即是F中的元素。事件{ω:x(ω)≤x}常簡記作{x≤x},並稱函數F(x)=p(x≤x),-∞