雙曲線

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雙曲線(Hyperbola)是指與平面上兩個定點的距離之差的絕對值為定值的點的軌跡,也可以定義為到定點與定直線的距離之比是一個大於1的常數的點之軌跡。雙曲線是圓錐曲線的一種,即圓錐面與平面的交截線。

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目 錄1名稱定義

2特徵介紹

3面積公式

4參數方程

5重點

5.1 取值範圍

5.2 對稱

5.3 頂點

5.4 漸近線

5.5 離心率

5.6 焦半徑

5.7 等軸雙曲線

5.8 共軛雙曲線

5.9 準線

6光學性質

1名稱定義我們把平面內與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等於一個常數(常數為2a)的軌跡稱為雙曲線。 (平面內到兩定點的距離差的絕對值為定長的點的軌跡叫做雙曲線)

即:│PF1-PF2│=2a

定義1:

平面內,到兩個定點的距離之差的絕對值為常數(小於這兩個定點間的距離[1])的點的軌跡稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點。

定義2:平面內,到給定一點及一直線的距離之比為常數e(e>1,即為雙曲線的離心率)的點的軌跡稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點,定直線叫雙曲線的準線。雙曲線準線的方程為x=±a²/c(焦點在x軸上)或y=±a²/c(焦點在y軸上)。

定義3:一平面截一圓錐面,當截面與圓錐面的母線不平行,且與圓錐面的兩個圓錐都相交時,交線稱為雙曲線。

定義4:在平面直角坐標系中,二元二次方程F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0滿足以下條件時,其圖像為雙曲線。

1.a、b、c不都是零.

2.b2 - 4ac > 0.

注:第2條可以推出第1條。

在高中的解析幾何中,學到的是雙曲線的中心在原點,圖像關於x,y軸對稱的情形。這時雙曲線的方程退化為:x2/a2 - y2/b2 = 1.

上述的四個定義是等價的,並且根據建好的前後位置判斷圖像關於x,y軸對稱。

標準方程為:

1、焦點在X軸上時為:

x2/a2 - y2/b2 = 1 (a>0,b>0)

2、焦點在Y 軸上時為:

y2/a2 - x2/b2 = 1 (a>0,b>0)

2特徵介紹以下從純幾何的角度給出一些雙曲線的相關概念和性質。

分支

雙曲線有兩個分支。

焦點

在定義1中提到的兩給定點稱為該雙曲線的焦點,定義2中提到的一給定點也是雙曲線的焦點。雙曲線有兩個焦點。

準線

在定義2中提到的給定直線稱為該雙曲線的準線

離心率

在定義2中提到的到給定點與給定直線的距離之比,稱為該雙曲線的離心率。

離心率e=c/a

雙曲線有兩個焦點,兩條準線。(注意:儘管定義2中只提到了一個焦點和一條準線。但是給定同側的一個焦點,一條準線以及離心率可以根據定義2同時得到雙曲線的兩支,而兩側的焦點,準線和相同離心率得到的雙曲線是相同的。)

頂點

雙曲線與兩焦點連線的交點,稱為雙曲線的頂點。

實軸

兩頂點之間的距離稱為雙曲線的實軸。實軸長的一半稱為實半軸。

漸近線

雙曲線有兩條漸近線。

漸近線的方程求法是:將右邊的常數設為0,即可用解二元二次的方法求出漸近線的解,例如:X2/2-Y2/4=1,令1=0,則X2/2=Y2/4,則雙曲線的漸近線為Y=±(√2)X

實際應用

通風塔,冷卻塔,埃菲爾鐵塔,廣州塔「小蠻腰」等

  

3面積公式若 ∠F1PF2=θ,

則 S△F1PF2=b2×cot(θ/2)或S△F1PF2=b2/tan(θ/2)

·例:已知F1、F2為雙曲線C:x2-y2=1的左右焦點,點P在C上,∠F1PF2=60°,則P到x軸的距離為多

少?

解:由雙曲線焦點三角形面積公式

得S△F1PF2=b2×cot(θ/2)=√3

設P到x軸的距離為h,則 S△F1PF2 =1/2×h×2√2; h =√6/2

4參數方程雙曲線的參數方程:

①x=a·sec θ (正割) y=b·tan θ ( a為實半軸長, b為虛半軸長,θ為參數。焦點在X軸上)

②x=a(t+1/t)/2, y=b(t-1/t)/2 (t為參數)(a為半實軸長,b為半短軸長,焦點在X軸上)

5重點取值範圍[1]│x│≥a(焦點在x軸上)或者│y│≥a(焦點在y軸上)。

對稱XX於坐標軸和原點對稱。

頂點A(-a,0) , A'(a,0)。同時 AA'叫做雙曲線的實軸且│AA'│=2a.

B(0,-b) , B'(0,b)。同時 BB'叫做雙曲線的虛軸且│BB'│=2b.

F1(-c,0) , F2(c,0)。F1為雙曲線的左焦點,F2為雙曲線的右焦點且│F1F2│=2c

對實軸、虛軸、焦點有:a2+b2=c2

漸近線焦點在x軸:y=±(b/a)x.

焦點在y軸:y=±(a/b)x. 圓錐曲線ρ=ε/1-ecosθ當e>1時,表示雙曲線。其中p為焦點到準線距離,θ為弦與x軸夾角。

令1-ecosθ=0可以求出θ,這個就是漸近線的傾角,即θ=arccos(1/e)

令θ=0,得出ρ=ε/(1-e),x=ρcosθ=ε/(1-e)

令θ=π,得出ρ=ε/(1+e),x=ρcosθ=-ε/(1+e)

這兩個x是雙曲線定點的橫坐標。

求出它們的中點的橫坐標(雙曲線中心橫坐標)

x=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2

(注意化簡一下)

直線ρcosθ=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2

是雙曲線一條對稱軸,注意是不與曲線相交的對稱軸。

將這條直線順時針旋轉π/2-arccos(1/e)角度后就得到漸近線方程,設旋轉后的角度是θ』

則θ』=θ-[π/2-arccos(1/e)]

則θ=θ』+[π/2-arccos(1/e)]

代入上式:

ρcos{θ』+[π/2-arccos(1/e)]}=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2

即:ρsin[arccos(1/e)-θ』]=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2

現在可以用θ取代式中的θ』了

得到方程:ρsin[arccos(1/e)-θ]=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2

現證明雙曲線x2/a2-y2/b2=1 上的點在漸近線中

設M(x,y)是雙曲線在第一象限的點,則

y=(b/a)√(x2-a2) (x>a)

因為x2-a20,b>0)

而反比例函數的標準型是 xy = c (c ≠ 0)

但是反比例函數圖象確實是雙曲線軌跡經過旋轉得到的

因為 xy = c的對稱軸是 y=x, y=-x 而X2/a2 - Y2/b2 = 1的對稱軸是x軸,y軸

所以應該旋轉45°

設旋轉的角度為 a(a≠0,順時針)

(a為雙曲線漸進線的傾斜角)

則有

X = xcosa + ysina

Y = - xsina + ycosa

取 a = π/4

X2 - Y2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))2

= (√2/2 x + √2/2 y)2 -(√2/2 x - √2/2 y)2

= 4 (√2/2 x) (√2/2 y)

= 2xy.

而xy=c

所以

X2/(2c) - Y2/(2c) = 1 (c>0)

Y2/(-2c) - X2/(-2c) = 1 (c1;

在雙曲線的線上稱為雙曲線上,則有x2/a2-y2/b2=1;

在雙曲線所夾的區域稱為雙曲線外,則有x2/a2-y2/b2> 查看更多相關文獻

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1名稱定義2特徵介紹3面積公式4參數方程5重點5.1取值範圍5.2對稱性5.3頂點5.4漸近線5.5離心率5.6焦半徑5.7等軸雙曲線5.8共軛雙曲線5.9準線6光學性質

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1名稱定義我們把平面內與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等於一個常數(常數為2a)的軌跡稱為雙曲線。 (平面內到兩定點的距離差的絕對值為定長的點的軌跡叫做雙曲線)

即:│PF1-PF2│=2a

定義1:

平面內,到兩個定點的距離之差的絕對值為常數(小於這兩個定點間的距離[1])的點的軌跡稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點。

定義2:平面內,到給定一點及一直線的距離之比為常數e(e>1,即為雙曲線的離心率)的點的軌跡稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點,定直線叫雙曲線的準線。雙曲線準線的方程為x=±a²/c(焦點在x軸上)或y=±a²/c(焦點在y軸上)。

定義3:一平面截一圓錐面,當截面與圓錐面的母線不平行,且與圓錐面的兩個圓錐都相交時,交線稱為雙曲線。

定義4:在平面直角坐標系中,二元二次方程F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0滿足以下條件時,其圖像為雙曲線。

1.a、b、c不都是零.

2.b2 - 4ac > 0.

注:第2條可以推出第1條。

在高中的解析幾何中,學到的是雙曲線的中心在原點,圖像關於x,y軸對稱的情形。這時雙曲線的方程退化為:x2/a2 - y2/b2 = 1.

上述的四個定義是等價的,並且根據建好的前後位置判斷圖像關於x,y軸對稱。

標準方程為:

1、焦點在X軸上時為:

x2/a2 - y2/b2 = 1 (a>0,b>0)

2、焦點在Y 軸上時為:

y2/a2 - x2/b2 = 1 (a>0,b>0)

2特徵介紹以下從純幾何的角度給出一些雙曲線的相關概念和性質。

分支

雙曲線有兩個分支。

焦點

在定義1中提到的兩給定點稱為該雙曲線的焦點,定義2中提到的一給定點也是雙曲線的焦點。雙曲線有兩個焦點。

準線

在定義2中提到的給定直線稱為該雙曲線的準線

離心率

在定義2中提到的到給定點與給定直線的距離之比,稱為該雙曲線的離心率。

離心率e=c/a

雙曲線有兩個焦點,兩條準線。(注意:儘管定義2中只提到了一個焦點和一條準線。但是給定同側的一個焦點,一條準線以及離心率可以根據定義2同時得到雙曲線的兩支,而兩側的焦點,準線和相同離心率得到的雙曲線是相同的。)

頂點

雙曲線與兩焦點連線的交點,稱為雙曲線的頂點。

實軸

兩頂點之間的距離稱為雙曲線的實軸。實軸長的一半稱為實半軸。

漸近線

雙曲線有兩條漸近線。

漸近線的方程求法是:將右邊的常數設為0,即可用解二元二次的方法求出漸近線的解,例如:X2/2-Y2/4=1,令1=0,則X2/2=Y2/4,則雙曲線的漸近線為Y=±(√2)X

實際應用

通風塔,冷卻塔,埃菲爾鐵塔,廣州塔「小蠻腰」等

  

3面積公式若 ∠F1PF2=θ,

則 S△F1PF2=b2×cot(θ/2)或S△F1PF2=b2/tan(θ/2)

·例:已知F1、F2為雙曲線C:x2-y2=1的左右焦點,點P在C上,∠F1PF2=60°,則P到x軸的距離為多

少?

解:由雙曲線焦點三角形面積公式

得S△F1PF2=b2×cot(θ/2)=√3

設P到x軸的距離為h,則 S△F1PF2 =1/2×h×2√2; h =√6/2

4參數方程雙曲線的參數方程:

①x=a·sec θ (正割) y=b·tan θ ( a為實半軸長, b為虛半軸長,θ為參數。焦點在X軸上)

②x=a(t+1/t)/2, y=b(t-1/t)/2 (t為參數)(a為半實軸長,b為半短軸長,焦點在X軸上)

5重點取值範圍[1]│x│≥a(焦點在x軸上)或者│y│≥a(焦點在y軸上)。

對稱XX於坐標軸和原點對稱。

頂點A(-a,0) , A'(a,0)。同時 AA'叫做雙曲線的實軸且│AA'│=2a.

B(0,-b) , B'(0,b)。同時 BB'叫做雙曲線的虛軸且│BB'│=2b.

F1(-c,0) , F2(c,0)。F1為雙曲線的左焦點,F2為雙曲線的右焦點且│F1F2│=2c

對實軸、虛軸、焦點有:a2+b2=c2

漸近線焦點在x軸:y=±(b/a)x.

焦點在y軸:y=±(a/b)x. 圓錐曲線ρ=ε/1-ecosθ當e>1時,表示雙曲線。其中p為焦點到準線距離,θ為弦與x軸夾角。

令1-ecosθ=0可以求出θ,這個就是漸近線的傾角,即θ=arccos(1/e)

令θ=0,得出ρ=ε/(1-e),x=ρcosθ=ε/(1-e)

令θ=π,得出ρ=ε/(1+e),x=ρcosθ=-ε/(1+e)

這兩個x是雙曲線定點的橫坐標。

求出它們的中點的橫坐標(雙曲線中心橫坐標)

x=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2

(注意化簡一下)

直線ρcosθ=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2

是雙曲線一條對稱軸,注意是不與曲線相交的對稱軸。

將這條直線順時針旋轉π/2-arccos(1/e)角度后就得到漸近線方程,設旋轉后的角度是θ』

則θ』=θ-[π/2-arccos(1/e)]

則θ=θ』+[π/2-arccos(1/e)]

代入上式:

ρcos{θ』+[π/2-arccos(1/e)]}=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2

即:ρsin[arccos(1/e)-θ』]=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2

現在可以用θ取代式中的θ』了

得到方程:ρsin[arccos(1/e)-θ]=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2

現證明雙曲線x2/a2-y2/b2=1 上的點在漸近線中

設M(x,y)是雙曲線在第一象限的點,則

y=(b/a)√(x2-a2) (x>a)

因為x2-a20,b>0)

而反比例函數的標準型是 xy = c (c ≠ 0)

但是反比例函數圖象確實是雙曲線軌跡經過旋轉得到的

因為 xy = c的對稱軸是 y=x, y=-x 而X2/a2 - Y2/b2 = 1的對稱軸是x軸,y軸

所以應該旋轉45°

設旋轉的角度為 a(a≠0,順時針)

(a為雙曲線漸進線的傾斜角)

則有

X = xcosa + ysina

Y = - xsina + ycosa

取 a = π/4

X2 - Y2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))2

= (√2/2 x + √2/2 y)2 -(√2/2 x - √2/2 y)2

= 4 (√2/2 x) (√2/2 y)

= 2xy.

而xy=c

所以

X2/(2c) - Y2/(2c) = 1 (c>0)

Y2/(-2c) - X2/(-2c) = 1 (c1;

在雙曲線的線上稱為雙曲線上,則有x2/a2-y2/b2=1;

在雙曲線所夾的區域稱為雙曲線外,則有x2/a2-y2/b2