複數

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複數( complex number)是指能寫成如下形式的數a+bi,這裡a和b是實數(real part),i是虛數單位(即-1開根)。 由義大利米蘭學者卡當在十六世紀首次引入,經過達朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作,此概念逐漸為數學家所接受。 複數有多種表示法,諸如向量表示、三角表示,指數表示等。它滿足四則運算等性質。它是複變函數論、解析數論、傅里葉分析、分形、流體力學、相對論、量子力學等學科中最基礎的對象和工具。另外,複數還指在英語中與單數相對,兩個及兩個以上的可數名詞。

目錄 1歷史

2主要內容

形式 複數的模 3共軛複數

釋義 性質 4複數的輻角

概述 釋義 5運演算法則

加法法則 乘法法則 除法法則 開方法則

運算律 i的乘方法則 棣莫佛定理 複數三角形式 6複數與幾何

複平面 幾何表示法 區域的概念 簡單曲線 7複數與函數

單連/多連通域 導數定義 可導與連續 可導與可微 複變函數積分 柯西積分定理

解析函數的概念 充要條件 8調和函數

9分類

10應用

系統分析 信號分析 反常積分 量子力學 相對論 流體力學 碎形 黎曼猜想軌跡 11數系理論

引子 十進位計數法

大數記法 有理數系 負數 無理數 複數 四元數 12初等函數

實變初等函數 復變指數函數 複數的三角函數 13英語語法

定義 一般方法 14公式口決

1歷史最早有關負數方根的文獻出於公元1世紀希臘數學家海倫,他考慮的是平頂金字塔不可能問題。

16世紀義大利米蘭學者卡當(Jerome Cardan1501—1576)在1545年發表的《重要的藝術》一書中,公布了三次方程的一般解法,被後人稱之為「卡當公式」。他是第一個把負數的平方根寫到公式中的數學家,並且在討論是否可能把10分成兩部分,使它們的乘積等於40時,他把答案寫成

儘管他認為

這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的,但他還是把10分成了兩部分,並使它們的乘積等於40。給出「虛數」這一名稱的是法國數學家笛卡爾(1596—1650),他在《幾何學》(1637年發表)中使「虛的數」與「實的數」相對應,從此,虛數才流傳開來。

數系中發現一顆新星——虛數,於是引起了數學界的一片困惑,很多大數學家都不承認虛數。德國數學家萊布尼茨(1646—1716)在1702年說:「虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所,它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物」。瑞士數學大師歐拉(1707—1783)說:「一切形如,

的數學式子都是不可能有的,想象的數,因為它們所表示的是負數的平方根。對於這類數,我們只能斷言,它們既不是什麼都不是,也不比什麼都不是多些什麼,更不比什麼都不是少些什麼,它們純屬虛幻。」然而,真理性的東西一定可以經得住時間和空間的考驗,最終佔有自己的一席之地。法國數學家達朗貝爾(1717—1783)在1747年指出,如果按照多項式的四則運算規則對虛數進行運算,那麼它的結果總是

的形式(a、b都是實數)。法國數學家棣莫弗(1667—1754)在1730年發現了著名的棣莫佛定理。歐拉在1748年發現了有名的關係式,並且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i來表示-1的平方根,首創了用符號i作為虛數的單位。「虛數」實際上不是想象出來的,而它是確實存在的。挪威的測量學家成塞爾(1745—1818)在1779年試圖給於這種虛數以直觀的幾何解釋,並首先發表其作法,然而沒有得到學術界的重視。

十八世紀末,複數漸漸被大多數人接受,當時卡斯帕爾·韋塞爾提出複數可看作平面上的一點。數年後,高斯再提出此觀點並大力推廣,複數的研究開始高速發展。詫異的是,早於1685年約翰·沃利斯已經在De Algebra tractatus提出此一觀點。

卡斯帕爾·韋塞爾的文章發表在1799年的Proceedings of the Copenhagen Academy上,以當今標準來看,也是相當清楚和完備。他又考慮球體,得出四元數並以此提出完備的球面三角學理論。1804年,Abbé Buée亦獨立地提出與沃利斯相似的觀點,即以來表示平面上與實軸垂直的單位線段。1806年,Buée的文章正式刊出,同年讓-羅貝爾·阿爾岡亦發表同類文章,而阿岡的複平面成了標準。1831年高斯認為複數不夠普及,次年他發表了一篇備忘錄,奠定複數在數學的地位。柯西及阿貝爾的努力,掃除了複數使用的最後顧忌,後者更是首位以複數研究著名的。

複數吸引了著名數學家的注意,包括庫默爾(1844年)、克羅內克(1845年)、Scheffler(1845年、1851年、1880年)、Bellavitis(1835年、1852年)、喬治·皮庫克(1845年)及德·摩根(1849年)。莫比烏斯發表了大量有關複數幾何的短文,約翰·彼得·狄利克雷將很多實數概念,例如素數,推廣至複數。

德國數學家阿甘得(1777—1855)在1806年公布了虛數的圖象表示法,即所有實數能用一條數軸表示,同樣,虛數也能用一個平面上的點來表示。在直角坐標系中,橫軸上取對應實數a的點A,縱軸上取對應實數b的點B,並過這兩點引平行於坐標軸的直線,它們的交點C就表示複數

。象這樣,由各點都對應複數的平面叫做「複平面」,後來又稱「阿甘得平面」。高斯在1831年,用實數組

代表複數

,並建立了複數的某些運算,使得複數的某些運算也象實數一樣地「代數化」。他又在1832年第一次提出了「複數」這個名詞,還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角坐標法和極坐標法加以綜合。統一于表示同一複數的代數式和三角式兩種形式中,並把數軸上的點與實數一一對應,擴展為平面上的點與複數一一對應。高斯不僅把複數看作平面上的點,而且還看作是一種向量,並利用複數與向量之間一一對應的關係,闡述了複數的幾何加法與乘法。至此,複數理論才比較完整和系統地建立起來了。

經過許多數學家長期不懈的努力,深刻探討並發展了複數理論,才使得在數學領域遊蕩了200年的幽靈——虛數揭去了神秘的面紗,顯現出它的本來面目,原來虛數不「虛」。虛數成為了數系大家庭中一員,從而實數集才擴充到了複數集。

隨著科學和技術的進步,複數理論已越來越顯出它的重要性,它不但對於數學本身的發展有著極其重要的意義,而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用,並在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力,也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據

2主要內容形式數集拓展到實數範圍內,仍有些運算無法進行。比如判別式小於0的一元二次方程仍無解,因此將數集再次擴充,達到複數範圍。

形如z=a+bi的數稱為複數(complex number),其中規定i為虛數單位,且i^2=i×i=-1(a,b是任意實數)

我們將複數z=a+bi中的實數a稱為複數z的實部(real part)記作Rez=a

實數b稱為複數z的虛部(imaginary part)記作 Imz=b.

已知:當b=0時,z=a,這時複數成為實數;當且僅當a=b=0時,它是實數0;

當a=0且b≠0時,z=bi,我們就將其稱為純虛數。

複數的模將複數的實部與虛部的平方和的正的平方根的值稱為該複數的模,記作∣z∣.

即對於複數z=a+bi,它的模

∣z∣=√(a^2+b^2)

複數的集合用C表示,實數的集合用R表示,顯然,R是C的真子集。

複數集是無序集,不能建立大小順序。

3共軛複數釋義對於複數z=a+bi,稱複數z'=a-bi為z的共軛複數。即兩個實部相等,虛部(虛部不等於0)互為相反數的複數互為共軛複數(conjugate complex number)。複數z的共軛複數記作zˊ。表示方法為在字母z上方加一橫線即共軛符號。

性質根據定義,若z=a+bi(a,b∈R),則 zˊ=a-bi(a,b∈R)。共軛複數所對應的點關於實軸對稱。兩個複數:x+yi與x-yi稱為共軛複數,它們的實部相等,虛部互為相反數.在複平面上。表示兩個共軛複數的點關於X軸對稱.而這一點正是"共軛"一詞的來源。兩頭牛平行地拉一部犁,它們的肩膀上要共架一個橫樑,這橫樑就叫做"軛".如果用Z表示X+Yi,那麼在Z字上面加個"一"就表示X-Yi,或相反。

共軛複數有些有趣的性質:

︱x+yi︱=︱x-yi︱

(x+yi)*(x-yi)=x^2+y^2

4複數的輻角概述在複變函數中,自變數z可以寫成 z= r*(cosθ + i sinθ) .r是z的模,即r = |z|; θ是z的輻角。 在0到2π間的輻角稱為輻角主值,記作: arg(z)或者arc(z)

釋義任意一個不為零的複數z=a+bi的輻角有無限多個值,且這些值相差2π的整數倍。把適合於-π 0為半徑的圓| z -z 0|

1歷史最早有關負數方根的文獻出於公元1世紀希臘數學家海倫,他考慮的是平頂金字塔不可能問題。

16世紀義大利米蘭學者卡當(Jerome Cardan1501—1576)在1545年發表的《重要的藝術》一書中,公布了三次方程的一般解法,被後人稱之為「卡當公式」。他是第一個把負數的平方根寫到公式中的數學家,並且在討論是否可能把10分成兩部分,使它們的乘積等於40時,他把答案寫成

儘管他認為

這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的,但他還是把10分成了兩部分,並使它們的乘積等於40。給出「虛數」這一名稱的是法國數學家笛卡爾(1596—1650),他在《幾何學》(1637年發表)中使「虛的數」與「實的數」相對應,從此,虛數才流傳開來。

數系中發現一顆新星——虛數,於是引起了數學界的一片困惑,很多大數學家都不承認虛數。德國數學家萊布尼茨(1646—1716)在1702年說:「虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所,它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物」。瑞士數學大師歐拉(1707—1783)說:「一切形如,

的數學式子都是不可能有的,想象的數,因為它們所表示的是負數的平方根。對於這類數,我們只能斷言,它們既不是什麼都不是,也不比什麼都不是多些什麼,更不比什麼都不是少些什麼,它們純屬虛幻。」然而,真理性的東西一定可以經得住時間和空間的考驗,最終佔有自己的一席之地。法國數學家達朗貝爾(1717—1783)在1747年指出,如果按照多項式的四則運算規則對虛數進行運算,那麼它的結果總是

的形式(a、b都是實數)。法國數學家棣莫弗(1667—1754)在1730年發現了著名的棣莫佛定理。歐拉在1748年發現了有名的關係式,並且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i來表示-1的平方根,首創了用符號i作為虛數的單位。「虛數」實際上不是想象出來的,而它是確實存在的。挪威的測量學家成塞爾(1745—1818)在1779年試圖給於這種虛數以直觀的幾何解釋,並首先發表其作法,然而沒有得到學術界的重視。

十八世紀末,複數漸漸被大多數人接受,當時卡斯帕爾·韋塞爾提出複數可看作平面上的一點。數年後,高斯再提出此觀點並大力推廣,複數的研究開始高速發展。詫異的是,早於1685年約翰·沃利斯已經在De Algebra tractatus提出此一觀點。

卡斯帕爾·韋塞爾的文章發表在1799年的Proceedings of the Copenhagen Academy上,以當今標準來看,也是相當清楚和完備。他又考慮球體,得出四元數並以此提出完備的球面三角學理論。1804年,Abbé Buée亦獨立地提出與沃利斯相似的觀點,即以來表示平面上與實軸垂直的單位線段。1806年,Buée的文章正式刊出,同年讓-羅貝爾·阿爾岡亦發表同類文章,而阿岡的複平面成了標準。1831年高斯認為複數不夠普及,次年他發表了一篇備忘錄,奠定複數在數學的地位。柯西及阿貝爾的努力,掃除了複數使用的最後顧忌,後者更是首位以複數研究著名的。

複數吸引了著名數學家的注意,包括庫默爾(1844年)、克羅內克(1845年)、Scheffler(1845年、1851年、1880年)、Bellavitis(1835年、1852年)、喬治·皮庫克(1845年)及德·摩根(1849年)。莫比烏斯發表了大量有關複數幾何的短文,約翰·彼得·狄利克雷將很多實數概念,例如素數,推廣至複數。

德國數學家阿甘得(1777—1855)在1806年公布了虛數的圖象表示法,即所有實數能用一條數軸表示,同樣,虛數也能用一個平面上的點來表示。在直角坐標系中,橫軸上取對應實數a的點A,縱軸上取對應實數b的點B,並過這兩點引平行於坐標軸的直線,它們的交點C就表示複數

。象這樣,由各點都對應複數的平面叫做「複平面」,後來又稱「阿甘得平面」。高斯在1831年,用實數組

代表複數

,並建立了複數的某些運算,使得複數的某些運算也象實數一樣地「代數化」。他又在1832年第一次提出了「複數」這個名詞,還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角坐標法和極坐標法加以綜合。統一于表示同一複數的代數式和三角式兩種形式中,並把數軸上的點與實數一一對應,擴展為平面上的點與複數一一對應。高斯不僅把複數看作平面上的點,而且還看作是一種向量,並利用複數與向量之間一一對應的關係,闡述了複數的幾何加法與乘法。至此,複數理論才比較完整和系統地建立起來了。

經過許多數學家長期不懈的努力,深刻探討並發展了複數理論,才使得在數學領域遊蕩了200年的幽靈——虛數揭去了神秘的面紗,顯現出它的本來面目,原來虛數不「虛」。虛數成為了數系大家庭中一員,從而實數集才擴充到了複數集。

隨著科學和技術的進步,複數理論已越來越顯出它的重要性,它不但對於數學本身的發展有著極其重要的意義,而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用,並在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力,也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據。

2主要內容形式數集拓展到實數範圍內,仍有些運算無法進行。比如判別式小於0的一元二次方程仍無解,因此將數集再次擴充,達到複數範圍。

形如z=a+bi的數稱為複數(complex number),其中規定i為虛數單位,且i^2=i×i=-1(a,b是任意實數)

我們將複數z=a+bi中的實數a稱為複數z的實部(real part)記作Rez=a

實數b稱為複數z的虛部(imaginary part)記作 Imz=b.

已知:當b=0時,z=a,這時複數成為實數;當且僅當a=b=0時,它是實數0;

當a=0且b≠0時,z=bi,我們就將其稱為純虛數。

複數的模將複數的實部與虛部的平方和的正的平方根的值稱為該複數的模,記作∣z∣.

即對於複數z=a+bi,它的模

∣z∣=√(a^2+b^2)

複數的集合用C表示,實數的集合用R表示,顯然,R是C的真子集。

複數集是無序集,不能建立大小順序。

3共軛複數釋義對於複數z=a+bi,稱複數z'=a-bi為z的共軛複數。即兩個實部相等,虛部(虛部不等於0)互為相反數的複數互為共軛複數(conjugate complex number)。複數z的共軛複數記作zˊ。表示方法為在字母z上方加一橫線即共軛符號。

性質根據定義,若z=a+bi(a,b∈R),則 zˊ=a-bi(a,b∈R)。共軛複數所對應的點關於實軸對稱。兩個複數:x+yi與x-yi稱為共軛複數,它們的實部相等,虛部互為相反數.在複平面上。表示兩個共軛複數的點關於X軸對稱.而這一點正是"共軛"一詞的來源。兩頭牛平行地拉一部犁,它們的肩膀上要共架一個橫樑,這橫樑就叫做"軛".如果用Z表示X+Yi,那麼在Z字上面加個"一"就表示X-Yi,或相反。

共軛複數有些有趣的性質:

︱x+yi︱=︱x-yi︱

(x+yi)*(x-yi)=x^2+y^2

4複數的輻角概述在複變函數中,自變數z可以寫成 z= r*(cosθ + i sinθ) .r是z的模,即r = |z|; θ是z的輻角。 在0到2π間的輻角稱為輻角主值,記作: arg(z)或者arc(z)

釋義任意一個不為零的複數z=a+bi的輻角有無限多個值,且這些值相差2π的整數倍。把適合於-π 0為半徑的圓| z -z 0|


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