數學模型

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數學模型的歷史可以追溯到人類開始使用數字的時代。隨著人類使用數字,就不斷地建立各種數學模型,以解決各種各樣的實際問題。對於廣大的科學技術工作者對大學生的綜合素質測評,對教師的工作業績的評定以及諸如訪友,採購等日常活動,都可以建立一個數學模型,確立一個最佳方案。建立數學模型是溝通擺在面前的實際問題與數學工具之間聯繫的一座必不可少的橋樑。

目錄 1定義

2建模要求

真實完整 簡明實用 適應變化

3模型種類

4方法步驟

模型準備 模型假設 模型構成

模型求解 模型分析 模型檢驗 模型應用 5模型分類

6教學大綱

7圖書信息

內容簡介 目錄

1定義現在數學模型還沒有一個統一的準確的定義,因為站在不同的角度可以有不同的定義。不過我們可以給出如下定義。"數學模型是關於部分現實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的、簡化的結構。"具體來說,數學模型就是為了某種目的,用字母、數字及其它數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特徵及其內在聯繫的數學結構表達式。

數學模型(Mathematical Model)是近些年發展起來的新學科,是數學理論與實際問題相結合的一門科學。它將現實問題歸結為相應的數學問題,並在此基礎上利用數學的概念、方法和理論進行深入的分析和研究,從而從定性或定量的角度來刻畫實際問題,併為解決現實問題提供精確的數據或可靠的指導。

2建模要求真實完整1)真實的、系統的、完整的,形象的反映客觀現象

2)必須具有代表性;

3)具有外推性,即能得到原型客體的信息,在模型的研究實驗時,能得到關於原型客體的原因;

4)必須反映完成基本任務所達到的各種業績,而且要與實際情況相符合。

簡明實用在建模過程中,要把本質的東西及其關係反映進去,把非本質的、對反映客觀真實程度影響不大的東西去掉,使模型在保證一定精確度的條件下,盡可能的簡單和可操作,數據易於採集。

適應變化隨著有關條件的變化和人們認識的發展,通過相關變數及參數的調整,能很好的適應新情況。

3模型種類用字母、數字和其他數學符號構成的等式或不等式,或用圖表、圖像、框圖、數理邏輯等來描述系統的特徵及其內部聯繫或與外界聯繫的模型。它是真實系統的一種抽象。數學模型是研究和掌握系統運動規律的有力工具,它是分析、設計、預報或預測、控制實際系統的基礎。數學模型的種類很多,而且有多種不同的分類方法。

靜態和動態模型

靜態模型是指要描述的系統各量之間的關係是不隨時間的變化而變化的,一般都用代數方程來表達。動態模型是指描述系統各量之間隨時間變化而變化的規律的數學表達式,一般用微分方程或差分方程來表示。經典控制理論中常用的系統的傳遞函數也是動態模型,因為它是從描述系統的微分方程變換而來的(見拉普拉斯變換)。

分佈參數和集中參數模型

分佈參數模型是用各類偏微分方程描述系統的動態特性,而集中參數模型是用線性或非線性常微分方程來描述系統的動態特性。在許多情況下,分佈參數模型借助於空間離散化的方法,可簡化為複雜程度較低的集中參數模型。

連續時間和離散時間模型

模型中的時間變數是在一定區間內變化的模型稱為連續時間模型,上述各類用微分方程描述的模型都是連續時間模型。在處理集中參數模型時,也可以將時間變數離散化,所獲得的模型稱為離散時間模型。離散時間模型是用差分方程描述的。

隨機性和確定性模型

隨機性模型中變數之間關係是以統計值或概率分佈的形式給出的,而在確定性模型中變數間的關係是確定的。

參數與非參數模型

用代數方程、微分方程、微分方程組以及傳遞函數等描述的模型都是參數模型。建立參數模型就在於確定已知模型結構中的各個參數。通過理論分析總是得出參數模型。非參數模型是直接或間接地從實際系統的實驗分析中得到的響應,例如通過實驗記錄到的系統脈衝響應或階躍響應就是非參數模型。運用各種系統辨識的方法,可由非參數模型得到參數模型。如果實驗前可以決定系統的結構,則通過實驗辨識可以直接得到參數模型。

線性和非線性模型

線性模型中各量之間的關係是線性的,可以應用疊加原理,即幾個不同的輸入量同時作用於系統的響應,等於幾個輸入量單獨作用的響應之和。線性模型簡單,應用廣泛。非線性模型中各量之間的關係不是線性的,不滿足疊加原理。在允許的情況下,非線性模型往往可以線性化為線性模型,方法是把非線性模型在工作點鄰域內展成泰勒級數,保留一階項,略去高階項,就可得到近似的線性模型。

4方法步驟模型準備首先要了解問題的實際背景,明確建模目的,搜集必需的各種信息 建模步驟示意圖

,盡量弄清對象的特徵。

模型假設根據對象的特徵和建模目的,對問題進行必要的、合理的簡化,用精確的語言作出假設,是建模至關重要的一步。如果對問題的所有因素一概考慮,無疑是一種有勇氣但方法欠佳的行為,所以高超的建模者能充分發揮想象力洞察力判斷力,善於辨別主次,而且為了使處理方法簡單,應盡量使問題線性化、均勻化。

模型構成根據所作的假設分析對象的因果關係,利用對象的內在規律和適當的數學工具,構造各個量間的等式關係或其它數學結構。這時,我們便會XX一個廣闊的應用數學天地,這裡在高數、概率老人的膝下,有許多可愛的孩子們,他們是圖論、排隊論、線性規劃、對策論等許多許多,真是泱泱大國,別有洞天。不過我們應當牢記,建立數學模型是為了讓更多的人明了並能加以應用,因此工具愈簡單愈有價值

模型求解可以採用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值運算等各種傳統的和近代的數學方法,特別是電腦技術。一道實際問題的解決往往需要紛繁的計算,許多時候還得將系統運行情況用電腦模擬出來,因此編程和熟悉數學軟體包能力便舉足輕重

模型分析對模型解答進行數學上的分析。」橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同"。能否對模型結果作出細緻精當的分析,決定了你的模型能否達到更高的檔次。還要記住,不論那種情況都需進行誤差分析,數據穩定性分析。

模型檢驗把數學上分析的結果翻譯回到現實問題,並用實際的現象、數據與之比較,檢驗模型的合理性適用性。、

模型應用取決於問題的性質和建模的目的。

5模型分類按應用領域分類:

生物學數學模型

醫學數學模型

地質學數學模型

氣象學數學模型

經濟學數學模型

社會學數學模型

物理學數學模型

化學數學模型

天文學數學模型

工程學數學模型

管理學數學模型

按是否考慮隨機因素分類:

確定性模型

隨機性模型

按是否考慮模型的變化分類:

靜態模型

動態模型

按應用離散方法或連續方法分類:

離散模型

連續模型

按建立模型的數學方法分類:

幾何模型

微分方程模型

圖論模型

規劃論模型

馬氏鏈模型

按人們對事物發展過程的了解程度分類:

白箱模型:

指那些內部規律比較清楚的模型。如力學、熱學、電學以及相關的工程技術問題。

灰箱模型:

指那些內部規律尚不十分清楚,在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問題。如氣象學、生態學經濟學等領域的模型。

黑箱模型:

指一些其內部規律還很少為人們所知的現象。如生命科學、社會科學等方面的問題。但由於因素眾多、關係複雜,也可簡化為灰箱模型來研究。

6教學大綱一、總學時:32學時

二、適用專業:本科理工類、經濟類各專業

三、選用教材:姜啟源 編《數學模型》(第二版)高教出版社出版

四、基本內容和要求

(一) 數學建模的步驟、原理和方法:

1、 了解數學建模的意義;

2、 了解建立數學模型的基本知識、相關的基本概念;

3、 掌握數學建模過程的幾個明顯的處理階段和流程;

4、 通過實例了解數學模型的特點和學習方法

5、 了解全國大學生數學建模競賽。

(二) 掌握數學建模思想方法:

1、數學建模概述

2、對現實問題的分析、提練、描述

3、幾種創造性思維方法

4、合理假設與信息處理

5、建立數學模型

6、數學軟體與模型求解

7、結果分析與靈敏度分析

8、模型的評價與推廣

9、論文摘要

(三) 數學方法分類建模

1、 初等數學方法建模;

2、 線性規劃法建模;

3、 非線性規劃法建模

4、 微分方程建模;

5、 層次分析法適用的建模問題和處理方法;

6、 圖論方法建模;

7、 概率分佈方法建模。

(四) 掌握一些特殊模型:

1、 運輸問題模型;

2、 經濟決策模型;

3、 綜合評判模型;

4、 捕魚業的持續收入;

5、 幾種圖論模型;

6、 效益的合理分配;

(五) 數學建模論文的寫作:

1、 知道數學建模競賽的規則及論文的評閱辦法;

2、 掌握數學建模論文的幾個基本模塊的數學方法。

五、學時分配建議表

序號

內 容

學時數

(一)

(二)

(三)

(四)

(五)

(六)

(七)

(八)

(九)

(十)

(十一)

(十二)

(十三)

(十四)

(十五)

(十六)

建立數學模型的基本知識

數學建模思想方法(一)

數學建模思想方法(二)

合理假設與數據處理

線性規劃方法建模

線性規劃求解方法

非線性規劃建模

非線性規劃求解方法

微分方程建模

差分方法建模

層次分析法建模

圖論方法建模

概率分佈方法建模

數學建模論文的寫作

專題建模剖析(二)

數學軟體應用

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

總計

32

六、說明

(一) 本大綱根據我校的實際情況制定。

(二) 課程類型:全校選修課。

(三) 總則:本課程系統地介紹數學模型、數學建模和建模過程中的一些常用方法及數學建模實例,通過課堂教學和討論,使學生了解數學建模的特性及建模的基本方法,並初步具備對實際問題如何建模的能力以及培養良好的思考習慣和歸納分析能力,使學生在應用數學知識解決實際問題的能力有所提高。學習本課程的大部分內容只需要大學的微積分、線性代數、概率論等基本數學知識。

(四) 教學目的及要求:逐步培養學生利用數學工具解決實際問題的能力。能夠將實際問題「翻譯」為數學語言,並予以求解,然後再解釋實際現象,甚至應用於實際。最終提高學生的數學素質和應用數學知識解決實際問題的能力。

(五) 教學重點:對實際問題的分析;模型的合理假設;數學工具的恰當應用;模型的建立;模型的求解;模型結果的合理解釋;模型的應用;

(六) 教學難點:對實際問題的分析;模型的合理假設;數學工具的恰當應用;模型結果的合理解釋與模型的應用;

(七) 主要教學環節的組織:循序漸進的介入數學建模的思想,由簡入難的介紹各類數學模型;強化數學與電腦等其他工具的結合;對於一些重點教學環節,在突出對數學方法的同時,要重點講述數學方法與實際問題的一些必然的關聯性,使學生更具體的認識數學。對某些章節用到的不常用數學方法,予以簡單而有目的的介紹。

(八) 大綱中教學基本要求從高到底分為理論部分:深入理解、一般理解、了解;運算部分:熟練掌握、一般掌握、知道。

7圖書信息

書 名: 數學模型

版次: 2011年1月第四版

出版社: 高等教育出版社

出版時間: 2011-7-28

ISBN: 9787040311501

開本: 16開

定價: 44.00 元

內容簡介本書第一、二、三版分別出版于 1987年、1993年和2003年。基於作者20多年來從事數學建模教學、組織數學建模競賽、開設數學實驗課程以及編寫相關圖書的經驗,參考國內外數學建模教材和教學單元,第四版在保持前三版基本結構和風格的基礎上,進行補充與修訂:增加了一些實用性較強、生活氣息濃烈、數學推導簡化的案例,改寫、合併、調整了若干案例和章節,刪除了個別案例,並對習題作了相應的修訂。

本書可作為高等學校各專業學生數學建模課程的教材和參加數學建模競賽的輔導材料,以及科技工作者的參考書。

目錄第1章 建立數學模型

第2章 初等模型

第3章 簡單的優化模型

第4章 數學規劃模型

第5章 微分方程模型

第6章 代數方程與差分方程模型

第7章 穩定性模型

第8章 離散模型

第9章 概率模型

第10章 統計回歸模型

第11章 博弈模型

第12章 馬氏鏈模型

第13章 動態優化模型

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1定義2建模要求2.1真實完整2.2簡明實用2.3適應變化3模型種類4方法步驟4.1模型準備4.2模型假設4.3模型構成4.4模型求解4.5模型分析4.6模型檢驗4.7模型應用5模型分類6教學大綱7圖書信息7.1內容簡介7.2目錄

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1定義現在數學模型還沒有一個統一的準確的定義,因為站在不同的角度可以有不同的定義。不過我們可以給出如下定義。"數學模型是關於部分現實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的、簡化的結構。"具體來說,數學模型就是為了某種目的,用字母、數字及其它數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特徵及其內在聯繫的數學結構表達式。

數學模型(Mathematical Model)是近些年發展起來的新學科,是數學理論與實際問題相結合的一門科學。它將現實問題歸結為相應的數學問題,並在此基礎上利用數學的概念、方法和理論進行深入的分析和研究,從而從定性或定量的角度來刻畫實際問題,併為解決現實問題提供精確的數據或可靠的指導。

2建模要求真實完整1)真實的、系統的、完整的,形象的反映客觀現象;

2)必須具有代表性;

3)具有外推性,即能得到原型客體的信息,在模型的研究實驗時,能得到關於原型客體的原因;

4)必須反映完成基本任務所達到的各種業績,而且要與實際情況相符合。

簡明實用在建模過程中,要把本質的東西及其關係反映進去,把非本質的、對反映客觀真實程度影響不大的東西去掉,使模型在保證一定精確度的條件下,盡可能的簡單和可操作,數據易於採集。

適應變化隨著有關條件的變化和人們認識的發展,通過相關變數及參數的調整,能很好的適應新情況。

3模型種類用字母、數字和其他數學符號構成的等式或不等式,或用圖表、圖像、框圖、數理邏輯等來描述系統的特徵及其內部聯繫或與外界聯繫的模型。它是真實系統的一種抽象。數學模型是研究和掌握系統運動規律的有力工具,它是分析、設計、預報或預測、控制實際系統的基礎。數學模型的種類很多,而且有多種不同的分類方法。

靜態和動態模型

靜態模型是指要描述的系統各量之間的關係是不隨時間的變化而變化的,一般都用代數方程來表達。動態模型是指描述系統各量之間隨時間變化而變化的規律的數學表達式,一般用微分方程或差分方程來表示。經典控制理論中常用的系統的傳遞函數也是動態模型,因為它是從描述系統的微分方程變換而來的(見拉普拉斯變換)。

分佈參數和集中參數模型

分佈參數模型是用各類偏微分方程描述系統的動態特性,而集中參數模型是用線性或非線性常微分方程來描述系統的動態特性。在許多情況下,分佈參數模型借助於空間離散化的方法,可簡化為複雜程度較低的集中參數模型。

連續時間和離散時間模型

模型中的時間變數是在一定區間內變化的模型稱為連續時間模型,上述各類用微分方程描述的模型都是連續時間模型。在處理集中參數模型時,也可以將時間變數離散化,所獲得的模型稱為離散時間模型。離散時間模型是用差分方程描述的。

隨機性和確定性模型

隨機性模型中變數之間關係是以統計值或概率分佈的形式給出的,而在確定性模型中變數間的關係是確定的。

參數與非參數模型

用代數方程、微分方程、微分方程組以及傳遞函數等描述的模型都是參數模型。建立參數模型就在於確定已知模型結構中的各個參數。通過理論分析總是得出參數模型。非參數模型是直接或間接地從實際系統的實驗分析中得到的響應,例如通過實驗記錄到的系統脈衝響應或階躍響應就是非參數模型。運用各種系統辨識的方法,可由非參數模型得到參數模型。如果實驗前可以決定系統的結構,則通過實驗辨識可以直接得到參數模型。

線性和非線性模型

線性模型中各量之間的關係是線性的,可以應用疊加原理,即幾個不同的輸入量同時作用於系統的響應,等於幾個輸入量單獨作用的響應之和。線性模型簡單,應用廣泛。非線性模型中各量之間的關係不是線性的,不滿足疊加原理。在允許的情況下,非線性模型往往可以線性化為線性模型,方法是把非線性模型在工作點鄰域內展成泰勒級數,保留一階項,略去高階項,就可得到近似的線性模型。

4方法步驟模型準備首先要了解問題的實際背景,明確建模目的,搜集必需的各種信息 建模步驟示意圖

,盡量弄清對象的特徵。

模型假設根據對象的特徵和建模目的,對問題進行必要的、合理的簡化,用精確的語言作出假設,是建模至關重要的一步。如果對問題的所有因素一概考慮,無疑是一種有勇氣但方法欠佳的行為,所以高超的建模者能充分發揮想象力、洞察力和判斷力,善於辨別主次,而且為了使處理方法簡單,應盡量使問題線性化、均勻化。

模型構成根據所作的假設分析對象的因果關係,利用對象的內在規律和適當的數學工具,構造各個量間的等式關係或其它數學結構。這時,我們便會XX一個廣闊的應用數學天地,這裡在高數、概率老人的膝下,有許多可愛的孩子們,他們是圖論、排隊論、線性規劃、對策論等許多許多,真是泱泱大國,別有洞天。不過我們應當牢記,建立數學模型是為了讓更多的人明了並能加以應用,因此工具愈簡單愈有價值。

模型求解可以採用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值運算等各種傳統的和近代的數學方法,特別是電腦技術。一道實際問題的解決往往需要紛繁的計算,許多時候還得將系統運行情況用電腦模擬出來,因此編程和熟悉數學軟體包能力便舉足輕重。

模型分析對模型解答進行數學上的分析。」橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同"。能否對模型結果作出細緻精當的分析,決定了你的模型能否達到更高的檔次。還要記住,不論那種情況都需進行誤差分析,數據穩定性分析。

模型檢驗把數學上分析的結果翻譯回到現實問題,並用實際的現象、數據與之比較,檢驗模型的合理性和適用性。、

模型應用取決於問題的性質和建模的目的。

5模型分類按應用領域分類:

生物學數學模型

醫學數學模型

地質學數學模型

氣象學數學模型

經濟學數學模型

社會學數學模型

物理學數學模型

化學數學模型

天文學數學模型

工程學數學模型

管理學數學模型

按是否考慮隨機因素分類:

確定性模型

隨機性模型

按是否考慮模型的變化分類:

靜態模型

動態模型

按應用離散方法或連續方法分類:

離散模型

連續模型

按建立模型的數學方法分類:

幾何模型

微分方程模型

圖論模型

規劃論模型

馬氏鏈模型

按人們對事物發展過程的了解程度分類:

白箱模型:

指那些內部規律比較清楚的模型。如力學、熱學、電學以及相關的工程技術問題。

灰箱模型:

指那些內部規律尚不十分清楚,在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問題。如氣象學、生態學經濟學等領域的模型。

黑箱模型:

指一些其內部規律還很少為人們所知的現象。如生命科學、社會科學等方面的問題。但由於因素眾多、關係複雜,也可簡化為灰箱模型來研究。

6教學大綱一、總學時:32學時

二、適用專業:本科理工類、經濟類各專業

三、選用教材:姜啟源 編《數學模型》(第二版)高教出版社出版

四、基本內容和要求

(一) 數學建模的步驟、原理和方法:

1、 了解數學建模的意義;

2、 了解建立數學模型的基本知識、相關的基本概念;

3、 掌握數學建模過程的幾個明顯的處理階段和流程;

4、 通過實例了解數學模型的特點和學習方法;

5、 了解全國大學生數學建模競賽。

(二) 掌握數學建模思想方法:

1、數學建模概述

2、對現實問題的分析、提練、描述

3、幾種創造性思維方法

4、合理假設與信息處理

5、建立數學模型

6、數學軟體與模型求解

7、結果分析與靈敏度分析

8、模型的評價與推廣

9、論文摘要

(三) 數學方法分類建模

1、 初等數學方法建模;

2、 線性規劃法建模;

3、 非線性規劃法建模

4、 微分方程建模;

5、 層次分析法適用的建模問題和處理方法;

6、 圖論方法建模;

7、 概率分佈方法建模。

(四) 掌握一些特殊模型:

1、 運輸問題模型;

2、 經濟決策模型;

3、 綜合評判模型;

4、 捕魚業的持續收入;

5、 幾種圖論模型;

6、 效益的合理分配;

(五) 數學建模論文的寫作:

1、 知道數學建模競賽的規則及論文的評閱辦法;

2、 掌握數學建模論文的幾個基本模塊的數學方法。

五、學時分配建議表

序號

內 容

學時數

(一)

(二)

(三)

(四)

(五)

(六)

(七)

(八)

(九)

(十)

(十一)

(十二)

(十三)

(十四)

(十五)

(十六)

建立數學模型的基本知識

數學建模思想方法(一)

數學建模思想方法(二)

合理假設與數據處理

線性規劃方法建模

線性規劃求解方法

非線性規劃建模

非線性規劃求解方法

微分方程建模

差分方法建模

層次分析法建模

圖論方法建模

概率分佈方法建模

數學建模論文的寫作

專題建模剖析(二)

數學軟體應用

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

總計

32

六、說明

(一) 本大綱根據我校的實際情況制定。

(二) 課程類型:全校選修課。

(三) 總則:本課程系統地介紹數學模型、數學建模和建模過程中的一些常用方法及數學建模實例,通過課堂教學和討論,使學生了解數學建模的特性及建模的基本方法,並初步具備對實際問題如何建模的能力以及培養良好的思考習慣和歸納分析能力,使學生在應用數學知識解決實際問題的能力有所提高。學習本課程的大部分內容只需要大學的微積分、線性代數、概率論等基本數學知識。

(四) 教學目的及要求:逐步培養學生利用數學工具解決實際問題的能力。能夠將實際問題「翻譯」為數學語言,並予以求解,然後再解釋實際現象,甚至應用於實際。最終提高學生的數學素質和應用數學知識解決實際問題的能力。

(五) 教學重點:對實際問題的分析;模型的合理假設;數學工具的恰當應用;模型的建立;模型的求解;模型結果的合理解釋;模型的應用;

(六) 教學難點:對實際問題的分析;模型的合理假設;數學工具的恰當應用;模型結果的合理解釋與模型的應用;

(七) 主要教學環節的組織:循序漸進的介入數學建模的思想,由簡入難的介紹各類數學模型;強化數學與電腦等其他工具的結合;對於一些重點教學環節,在突出對數學方法的同時,要重點講述數學方法與實際問題的一些必然的關聯性,使學生更具體的認識數學。對某些章節用到的不常用數學方法,予以簡單而有目的的介紹。

(八) 大綱中教學基本要求從高到底分為理論部分:深入理解、一般理解、了解;運算部分:熟練掌握、一般掌握、知道。

7圖書信息

書 名: 數學模型

版次: 2011年1月第四版

出版社: 高等教育出版社

出版時間: 2011-7-28

ISBN: 9787040311501

開本: 16開

定價: 44.00 元

內容簡介本書第一、二、三版分別出版于 1987年、1993年和2003年。基於作者20多年來從事數學建模教學、組織數學建模競賽、開設數學實驗課程以及編寫相關圖書的經驗,參考國內外數學建模教材和教學單元,第四版在保持前三版基本結構和風格的基礎上,進行補充與修訂:增加了一些實用性較強、生活氣息濃烈、數學推導簡化的案例,改寫、合併、調整了若干案例和章節,刪除了個別案例,並對習題作了相應的修訂。

本書可作為高等學校各專業學生數學建模課程的教材和參加數學建模競賽的輔導材料,以及科技工作者的參考書。

目錄第1章 建立數學模型

第2章 初等模型

第3章 簡單的優化模型

第4章 數學規劃模型

第5章 微分方程模型

第6章 代數方程與差分方程模型

第7章 穩定性模型

第8章 離散模型

第9章 概率模型

第10章 統計回歸模型

第11章 博弈模型

第12章 馬氏鏈模型

第13章 動態優化模型


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