極值

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1分類extremum函數的一種穩定值,即一個極大值或一個極小值,極值點只能在函數不可導的點或導數為零的點上取得。

如圖:B、C、D、E點均為極值點

extreme value(critical value)

在給定的時期內,或該時期的一定月份或季節內觀測到的氣候要素的最高值或最低值。如果這個時期是整個有觀測資料的時期,這個極值就是絕對極值。

2定義極值的概念來自數學應用中的最大最小值問題。定義在一個有界閉區域上的每一個連續函數都必定達到它的最大值和最小值,問題在於要確定它在哪些點處達到最大值或最小值。如果極值點不是邊界點,就一定是內點。因此,這裡的首要任務是求得一個內點成為一個極值點的必要條件。

若函數f(x)在x₀的一個鄰域D有定義,且對D的所有點,都有f(x)≤f(x₀),則稱f(x₀)是函數f(x)的一個極大值。

同理,若對D的所有點,都有f(x)≥f(x₀),則稱f(x₀)是函數f(x)的一個極小值。

3多元函數對於多元函數,同樣存在極值點的概念。此外,也有鞍點的概念。

4計算步驟步驟(1)、求導數f'(x);(2)、求方程f'(x)=0的根;

(3)、檢查f'(x)在方程的左右的值的符號,如果左正右負,那麼f(x)在這個根處取得極大值;如果左負右正那麼f(x)在這個根處取得極小值。

特別注意f'(x)無意義的點也要討論。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)無意義的點,再按定義去判別。

5舉例例題求函數f(x,y)=x^3+y^3-2x^2-2y^2+6x的極值

應該是fx=0,fy=0得到四個點,再代入值比較大小。

fx=3x^2-4x+6>0恆成立

fy=3y^2-4y=0得到y=0或者y=4/3

沒辦法!!!

定理1(必要條件): 設函數z = f(x,y)在點(x0,y0)具有偏導數,且在點(x0,y0)處有極值,則它在該點的偏導數必然為零

fx(x0,y0) = 0,fy(x0,y0) = 0。

定理2(充分條件): 設函數z = f(x,y)在點(x0,y0)的某領域內連續且有一階及二階連續偏導數,又fx(x0,y0) = 0,fy(x0,y0) = 0,令

fxx(x0,y0) = A,fxy(x0,y0) = B,fyy(x0,y0) = C,

則f(x,y)在(x0,y0)處是否取得極值的條件如下:

(1)AC-B2>0時具有極值,且當A0時有極小值;

(2)AC-B2