分析方法

来源:www.uuuwell.com

   

1圖書信息編輯書 名: 分

析方法

作 者斯特里沙茲(RobertS.Strichartz)

出版社 世界圖書出版公司

出版時間 2010年4月1日

ISBN: 9787510005565

開本 16開

定價: 99.00元

2內容簡介編輯數學主要講述思想的方法深入理解數學比掌握一大堆的定理定義問題和技術顯得更為重要理論和定義共同作用

3圖書目錄編輯Preface

1 Preliminaries

1.1 The Logic of Quantifiers

1.1.1 Rules of Quantifiers

1.1.2 Examples

1.1.3 Exercises

1.2 Infinite Sets

1.2.1 Countable Sets

1.2.2 Uncountable Sets

1.2.3 Exercises

1.3 Proofs

1.3.1 How to Discover Proofs

1.3.2 How to Understand Proofs

1.4 The Rational Number System

1.5 The Axiom of Choice

2 Construction of the Real Number System

2.1 Cauchy Sequences

2.1.1 Motivation

2.1.2 The Definition

2.1.3 Exercises

2.2 The Reals as an Ordered Field

2.2.1 Defining Arithmetic

2.2.2 The Field Axioms

2.2.3 Order

2.2.4 Exercises

2.3 Limits and Completeness

2.3.1 Proof of Completeness

2.3.2 Square Roots

2.3.3 Exercises

2.4 Other Versions and Visions

2.4.1 Infinite Decimal Expansion

2.4.2 Dedekind Cuts

2.4.3 Non-Standard Analysis

2.4.4 Constructive Analysis

2.4.5 Exercises

2.5 Summary

3 Topology of the Real Line

3.1 The Theory of Limits

3.1.1 Limits, Sups, and Infs

3.1.2 Limit Points

3.1.3 Exercises

3.2 Open Sets and Closed Sets

3.2.1 Open Sets

3.2.2 Closed Sets

3.2.3 Exercises

3.3 Compact Sets

3.3.1 Exercises

3.4 Summary

4 Continuous Functions

4.1 Concepts of Continuity

4.1.1 Definitions

4.1.2 Limits of Functions and Limits of Sequences

4.1.3 Inverse Images of Open Sets

4.1.4 Related Definitions

4.1.5 Exercises

4.2 Properties of Continuous Functions

4.2.1 Basic Properties

4.2.2 Continuous Functions on Compact Domains

4.2.3 Monotone Functions

4.2.4 Exercises

4.3 Summary

5 Differential Calculus

5.1 Concepts of the Derivative

5.1.1 Equivalent Definitions

5.1.2 Continuity and Continuous Differentiability

5.1.3 Exercises

5.2 Properties of the Derivative

5.2.1 Local Properties

5.2.2 Intermediate Value and Mean Value Theorems

5.2.3 Global Properties

5.2.4 Exercises

5.3 The Calculus of Derivatives

5.3.1 Product and Quotient Rules

5.3.2 The Chain Rule

5.3.3 Inverse Function Theorem

5.3,4 Exercises

5.4 Higher Derivatives and Taylor's Theorem

5.4.1 Interpretations of the Second Derivative

5.4.2 Taylor's Theorem

5.4.3 L'HSpital's Rule

5.4.4 Lagrange Remainder Formula

5.4.5 Orders of Zeros

5.4.6 Exercises

5.5 Summary

6 Integral Calculus

6.1 Integrals of Continuous Functions

6.1.1 Existence of the Integral

6.1.2 Fundamental Theorems of Calculus

6.1.3 Useful Integration Formulas

6.1.4 Numerical Integration

6.1.5 Exercises

6.2 The Riemann Integral

6.2.1 Definition of the Integral

6.2.2 Elementary Properties of the Integral

6.2.3 Functions with a Countable Number of Discon-tinuities

6.2.4 Exercises

6.3 Improper Integrals

6.3.1 Definitions and Examples

6.3.2 Exercises

6.4 Summary

7 Sequences and Series of Functions

7.1 Complex Numbers

7.1.1 Basic Properties of C

7.1.2 Complex-Valued Functions

7.1.3 Exercises

7.2 Numerical Series and Sequences

7.2.1 Convergence and Absolute Convergence

7.2.2 Rearrangements

7.2.3 Summation by Parts

7.2.4 Exercises

7.3 Uniform Convergence

7.3.1 Uniform Limits and Continuity

7.3.2 Integration and Differentiation of Limits

7.3.3 Unrestricted Convergence

7.3.4 Exercises

7.4 Power Series

7.4.1 The Radius of Convergence

7.4.2 Analytic Continuation

7.4.3 Analytic Functions on Complex Domains

7.4.4 Closure Properties of Analytic Functions

7.4.5 Exercises

7.5 Approximation by Polynomials

7.5.1 Lagrange Interpolation

7.5.2 Convolutions and Approximate Identities

7.5.3 The Weierstrass Approximation Theorem

7.5.4 Approximating Derivatives

7.5.5 Exercises

7.6 Eouicontinuity

7.6.1 The Definition of Equicontinuity

7.6.2 The Arzela-Ascoli Theorem

7.6.3 Exercises

7.7 Summary

8 Transcendental Functions

8.1 The Exponential and Logarithm

8.2 Trigonometric Functions

8.3 Summary

9 Euclidean Space and Metric Spaces

9.1 Structures on Euclidean Space

9.2 Topology of Metric Spaces

9.3 Continuous Functions on Metric Spaces

9.4 Summary

10 Differential Calculus in Euclidean Space

10.1 The Differential

10.2 Higher Derivatives

10.3 Summary

11 Ordinary Differential Equations

11.1 Existence and Uniqueness

11.2 Other Methods of Solution

11.3 Vector Fields and Flows

11.4 Summary

12 Fourier Series

12.1 Origins of Fourier Series

12.2 Convergence of Fourier Series

12.3 Summary

13 Implicit Functions, Curves, and Surfaces

13.1 The Implicit Function Theorem

13.2 Curves and Surfaces

13.3 Maxima and Minima on Surfaces

13.4 Arc Length

13.5 Summary

14 The Lebesgue Integral

14.1 The Concept of Measure

14.2 Proof of Existence of Measures

14.3 The Integral

14.4 The Lebesgue Spaces L1 and L2

14.5 Summary

15 Multiple Integrals

15.1 Interchange of Integrals

15.2 Change of Variable in Multiple Integrals

15.3 Summary

Index

邏輯意義上的分析方法 

分析與綜合是哲學心理學中探討的較為深透的方法在這裡主要從邏輯學的角度加以認識

1.什麼是分析

所謂分析就是把對象的整體分解為各個部分加以考察的方法[1]客觀事物整體與部分的關係是分析方法的客觀基礎整體是由它的各個組成部分構成的客觀事物在一定條件下分解為它的各個組成部分事物的各種屬性方面或關係從不同方面表現了事物的整體性人的大腦所具有的分析功能是分析的主觀條件客觀事物的多方面屬性的信息通過不同的感官渠道接收人的思維能夠把這些信息分成更細小的單元客觀事物的可分性和人腦的分析功能使分析方法成為人們勞動實踐的方法和思維方法人類最初在取食野果解剖野獸分食獸肉等勞動過程中就學會了分析恩格斯指出一個果核的剖開已是分析的開端[2]人們在勞動中對客觀對象的分析現象以攜帶信息的形象反映到思維中導致了思維對形象的分析思維中的分析是由想象完成的在想象中把一個事物的整體分為若幹部分把一個過程分為若干階段把一個系統分成若幹個子系統或要素等等都屬於分析

分析方法是思維常用的方法但是作為思維科學的邏輯學長期以來沒有將這種思維方法納入自己的研究範圍亞里士多德的傳統邏輯主要關注s是p這樣的直言判斷較少顧及其他命題現代邏輯著眼于各種邏輯形式的構造但卻沒有構造出分析方法的邏輯形式因此邏輯學還不能解釋由分析所構成的思維現象由分析所構成的命題在日常思維和語言中都是大量存在的例如一米是三尺就是一個由分析所構成的命題它應當解釋為一米可以分成三個一尺或一米由三個一尺構成數學中與之類似的如5=3+26=3×2等也都是由分析所構成的命題從中不難看出數學中加減乘除乘方開方的運算都是分析方法和與之相對應的綜合方法的運算

人類的思維實踐創造了眾多的分析方法這些分析方法可以從不同的角度進行分類邏輯學上區分了分解與劃分

1分解

分解是對具體事物的分析將事物的一個整體分成它的各個組成部分[3]就是分解分解是生活實踐中用得最多的分析其中又有靜態分析和動態分析的區分將一個處於相對靜止狀態中的對象整體分解為部分稱為靜態分析也稱橫向分析例如把完整的動物機體分解為它的器官組織細胞等便是靜態分析事物都是運動變化的一個事物運動變化的過程也可以看作一個整體將一個事物運動變化的過程分為時間上的各個階段稱為動態分析也稱縱向分析列寧說過如果不把不間斷的東西割斷不使活生生的東西簡單化粗造化不加以割碎不使之僵化那麼我們就不能想象表達測量描述運動例如把恆星演化的全過程分解為引力收縮階段主序星階段紅巨星階段和高密恆星階段就屬於動態分析此外還有定性分析與定量分析的區分定性分析是對事物的質的分析確定事物具有或不具有某種屬性指明事物是什麼或不是什麼例如蘋果的形狀是圓的顏色是紅的味道是酸的便屬於這種類型這種對於事物屬性的分析與抽象存在密切的關係事物的某一屬性一旦被分離出來抽象就開始了定量分析是對事物的量的分析包括對事物組成成分數量事物發展的數量分析例如通過對水的定量分析可以得知水是由兩個氫原子與一個氧原子構成在攝氏0度到100度之間保持液體狀態無論是靜態分析動態分析還是定性分析定量分析都能作深層次的分析將事物構成的複雜系統分解為各個因素方面屬性或子系統稱為系統分析如進行一項複雜的工程建設事先需要分析它的各個組成部分還要分析各個部分相互聯繫相互作用的特點它的功能特點它在各種外界條件作用下所表現出來的特點等等如此才能為工程設計提供各方面的依據

2劃分

劃分是邏輯學上對概念的分析傳統邏輯一般認為劃分是明確概念外延的邏輯方法只涉及概念的外延這種看法是有片面性的斯多葛學派早就認識到可以根據一定的質進行劃分例如將東西劃分為好的不好的這種劃分顯然是內涵上的劃分事實上劃分任何概念都要以一定的屬性作根據這就意味著首先對概念的內涵作出分析然後協同分析概念的相應外延例如人這一概念其內涵以性別為根據分析為男性與女性相應的外延分析為男人與女人從而實現了對人這一概念的劃分所以劃分也是一種系統分析只不過是對概念結構系統中的內涵與外延所作的協同分析劃分必須是相稱的的規則正是整體等於部分之和這一分析原理的運用

除此之外對命題也可以進行分析例如全稱命題由單稱命題構成因而可以分析出一個個單稱命題演繹推理由一般推出個別由全稱命題推導單稱命題來實際上是對命題的一種分析運用關於這一論題將在演繹方法一文中闡述

這些不同名目的分析都是對事物整體的不同角度不同方式不同程度的分析

2.分析所構成的邏輯關係

事物的整體都是有機的構成事物內部中各個部分之間的聯繫是錯綜複雜的思維中的分析是對事物反映到人腦中的信息所作的分析因此能夠不為事物構成的有機性和複雜性所困在那裡任何難以分解的複雜事物都可以輕而易舉地加以分析例如一個人的機體可以分析為五官四肢分析為骨骼系統肌肉系統神經系統血液系統等等一尺之棰日取其半萬世無竭可以分析到分子原子或更細小的粒子思維的無形之刀在分析這些事物時不會掉下一滴血液不會散落一點渣沫不會損失任何信息被分析的部分也很容易綜合還原且不留下任何痕跡邏輯學在考察思維的分析時也不再考慮事物構成的有機性與複雜性它只考慮分析所構成的純粹的邏輯關係就像物理學研究運動規律時不考慮摩擦一樣分析所得到的純粹邏輯關係是整體與部分的關係被分析對象的整體稱之為分析的母項分析所得到的部分稱之為分析的子項在想象的邏輯作用[4]一文中曾經提出一個事物的整體無論做何種方式何種角度何種程度的分析它所造成的整體與部分的邏輯關係都是一致的即整體等於部分之和或者母項等於子項之和一個人的身體等於他的各部分肢體之和一個水分子等於兩個氫原子與一個氧原子之和一個集合等於它的元素之和一個概念的外延等於它的各個子概念外延之和用邏輯形式表示即:

s=a+b+c+n

其中abc是對象整體s中分析出來的確定部分n是s中除abc之外的其餘部分公式所體現的關係是分析方法所構成的基本關係在邏輯中屬於比較關係中的等於關係其命題屬於相等關係的命題並服從相等關係的邏輯運算任何名目的分析都服從整體等於部分之和的規律


推薦閱讀