數學

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數學源自於古希臘語,是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。透過抽象化和邏輯推理使用,由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生。數學的基本要素是:邏輯和直觀、分析和推理、共性和個性

名稱的來源

  數學【shù xué】(希臘語:μαθηματικ?),源自於古希臘語的μ?θημα(máthēma),其有學習、學問、科學,以及另外還有個較狹隘且技術性的意義——「數學研究」。即使在其語源內,其形容詞意義和與學習有關的,亦會被用來指數學的。其在英語的複數形式,及在法語中的複數形式+es成 mathématiques,可溯至拉丁文的中性複數mathematica,由西塞hjt數學(math)。以前我國古代把數學叫算術,又稱算學,最後才改為數學。

數學的意義

  數學,作為人類思維表達形式,反映了人們積極進取的意志、縝密周詳的邏輯推理及對完美境界的追求。它的基本要素是:邏輯和直觀、分析和推理、共性和個性。雖然不同的傳統學派可以強調不同的側面,然而正是這些互相對立的力量的相互作用,以及它們綜合起來的努力,才構成了數學科學的生命力、可用性和它的崇高價值

數學史

  基礎數學的知識與運用個人團體生活中不可或缺的一部分。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本內便可觀見。從那時開始,其發展便持續不斷地有小幅度的進展,直至16世紀的文藝復興時期,因著和新科學發現相作用而生成的數學革新導致了知識的加速,直至今日。   今日,數學被使用在世界不同的領域上,包括科學、工程醫學經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學,有時亦會激起新的數學發現,並導致全新學科的發展。數學家也研究純數學,也就是數學本身,而不以任何實際應用為目標。雖然許多以純數學開始的研究,但之後會發現許多應用。   創立於二十世紀三十年代的法國的布爾巴基學派認為:數學,至少純數學,是研究抽象結構的理論。結構,就是以初始概念和公理出發的演繹系統。布學派認為,有三種基本的抽象結構:代數結構(群,環,域,格……),序結構(偏序,全序……),拓撲結構(鄰域,極限,連通性,維數……)。

三維立體結構圖

數學研究的各領域

  數學商業上計算的需要、了解數與數之間的關係、測量土地及預測天文事件。這四種需要大致地與數量、結構、空間及變化(即算術、代數、幾何及分析)等數學上廣泛的領域相關連著。除了上述主要的關注之外,亦有用來探索由數學核心至其他領域上之間的連結的子領域:至邏輯、至集合論(基礎)、至不同科學的經驗上的數學(應用數學)、及較近代的至不確定性的嚴格學習。

數量

  數量的學習起于數,一開始為熟悉的自然數及整數與被描述在算術內的自然數及整數的算術運算。整數更深的性質被研究于數論中,此一理論包括了如費馬最後定理之著名的結果。   當數系更進一步發展時,整數被承認為有理數的子集,而有理數則包含于實數中,連續的數量即是以實數來表示的。實數則可以被進一步廣義化成複數。數的進一步廣義化可以持續至包含四元數及八元數。自然數的考慮亦可導致超限數,它公式化了計數至無限的這一概念。另一個研究的領域為其大小,這個導致了基數和之後對無限的另外一種概念:阿列夫數,它允許無限集合之間的大小可以做有意義的比較。

結構

  許多如數及函數的集合等數學物件都有著內含的結構。這些物件的結構性質被探討于群、環、體及其他本身即為此物件的抽象系統中。此為抽象代數的領域。在此有一個很重要的概念,即向量,且廣義化至向量空間,並研究于線性代數中。向量的研究結合了數學的三個基本領域:數量、結構及空間。向量分析則將其擴展至第四個基本的領域內,即變化。

空間

  空間的研究源自於幾何-尤其是歐式幾何。三角學則結合了空間及

數,且包含有非常著名的勾股定理。現今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何及拓撲學。數和空間在解析幾何、微分幾何和代數幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的計算等概念。在代數幾何中有著如多項式方程的解集等幾何物件的描述,結合了數和空間的概念;亦有著拓撲群的研究,結合了結構與空間。李群被用來研究空間、結構及變化。

基礎與邏輯

  為了搞清楚數學基礎,數學邏輯和集合論等領域被發展了出來。德國數學家康托(Georg Cantor,1845-1918)首創集合論,大膽地向「無窮大」進軍,為的是給數學各分支提供一個堅實的基礎,而它本身的內容也是相當豐富的,提出了實無窮的存在,為以後的數學發展作出了不可估量的貢獻。Cantor的工作給數學發展帶來了一場革命。由於他的理論超越直觀,所以曾受到當時一些大數學家的反對,Pioncare也把集合論比作有趣的「病理情形」,Kronecker還擊Cantor是「神經質」,「走進了超越數的地獄」。對於這些非難和指責,Cantor仍充滿信心,他說:「我的理論猶如磐石一般堅固,任何反對它的人都將搬起石頭砸自己的腳.」    集合論在20世紀初已逐漸滲透到了各個數學分支,成為了分析理論,測度論,拓撲學及數理科學中必不可少的工具。20世紀初世界上最偉大的數學家Hilbert在德國傳播了Cantor的思想,把他稱為「數學家的樂園」和「數學思想最驚人的產物」。英國哲學家Russell把Cantor的工作譽為「這個時代所能誇耀的最巨大的工作」。   數學邏輯專註在將數學置於一堅固的公理架構上,並研究此一架構的成果。就其本身而言,其為哥德爾第二不完備定理的產地,而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果-總存在一不能被證明的真實定理。現代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論,且和理論電腦科學有著密切的關聯性。

數學類型的分類

數學分類

  1.離散數學   2.模糊數學   3.經典數學    4.近代數學   5.電腦數學   6.隨機數學   7.經濟數學   8.算術   9.初等代數   10.高等代數   11.數論   12.歐幾里得幾何   13.非歐幾里得幾何   14.解析幾何   15.微分幾何   16.代數幾何   17.XX影幾何學   18.幾何拓撲學   19.拓撲學   20.分形幾何   21.微積分學   22.實變函數論   23.概率和統計學   24.複變函數論   25.泛函分析   26.偏微分方程   27.常微分方程   28.數理邏輯   29.模糊數學   30.運籌學   31.計算數學   32.突變理論   33.數學物理學   34.函數類   35.會計總會類

分類符號、語言與嚴謹

  在現代的符號中,簡單的表示式可能描繪出複雜的概念。此一圖像即是由一簡單方程所產生的。   我們現今所使用的大部分數學符號都是到了16世紀后才被發明出來的。在此之前,數學被文字書寫出來,這是個會限制住數學發展的刻苦程序。現今的符號使得數學對於專家而言更容易去控作,但初學者卻常對此感到怯步。它被極度的壓縮:少量的符號包含著大量的訊息。如同音樂符號一般,現今的數學符號有明確的語法和難以以其他方法書寫的訊息編碼。   數學語言亦對初學者而言感到困難。如何使這些字有著比日常用語更精確的意思。亦困惱著初學者,如開放和域等字在數學里有著特別的意思。數學術語亦包括如同胚及可積性等專有名詞。但使用這些特別符號和專有術語是有其原因的:數學需要比日常用語更多的精確性。數學家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為「嚴謹」。   嚴謹是數學證明中很重要且基本的一部分。數學家希望他們的定理以系統化的推理依著公理被推論下去。這是為了避免錯誤的「定理」,依著不可靠的直觀,而這情形在歷史上曾出現過許多的例子。在數學中被期許的嚴謹程度因著時間而不同:希臘人期許著仔細的論點,但在牛頓的時代,所使用的方法則較不嚴謹。牛頓為了解決問題所做的定義到了十九世紀才重新以小心的分析及正式的證明來處理。今日,數學家們則持續地在爭論電腦輔助證明的嚴謹度。當大量的計量難以被驗證時,其證明亦很難說是有效地嚴謹。因為時代的差別、也抹去了不少知識、但是數學永不磨滅、永遠流傳智慧

世界數學發展史

數學的起源

  數學,起源於人類早期的生產活動,為中國古代六藝之一,亦被古希臘學者視為哲學之起點。數學的希臘語Μαθηματικ? mathematikós)意思是「學問的基礎」,源於ματθημα(máthema)(「科學,知識,學問」)。

數學的演進

  數學的演進大約可以看成是抽象化的持續發展,或是題材的延展。第一個被抽象化的概念大概是數字,其對兩個蘋果及兩個橘子之間有某樣相同事物認知是人類思想的一大突破。 除了認知到如何去數實際物質的數量,史前的人類亦了解如何去數抽象物質的數量,如時間-日、季節和年。算術(加減乘除)也自然而然地產生了。古代的石碑亦證實了當時已有幾何的知識。   更進一步則需要寫作或其他可記錄數字的系統,如符木或於印加帝國內用來儲存數據的奇普。歷史上曾有過許多且分歧的記數系統。   從歷史時代的一開始,數學內的主要原理是為了做稅務和貿易等相關多計算,為了了解數字間的關係,為了測量土地,以及為了預測天文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數學對數量、結構、空間及時間方面的研究。

初等數學

  到了16世紀,算術、初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備。

高等數學

  17世紀變數概念的產生使人們開始研究變化中的量與量的互相關係和圖形間的互相變換。在研究經典力學的過程中,微積分的方法被發現。隨著自然科學和技術的進一步發展,為研究數學基礎而產生的集合論和數理邏輯等也開始慢慢發展。

數學與科學

  數學從古至今便一直不斷地延展,且與科學有豐富的相互作用,並使兩者都得到好處。數學在歷史上有著許多的發現,並且直至今日都還不斷地發現中。依據Mikhail B. Sevryuk於美國數學會通報2006年1月的期刊中所說,「存在於數學評論資料庫中論文和書籍的數量自1940年(數學評論的創刊年份)現已超過了一百九十萬份,而且每年還增加超過七萬五千份的細目。此一學海的絕大部分為新的數學定理及其證明。」

國外著名數學家

歐幾里得

  歐幾里得(希臘文:Ευκλειδη?,約公元前330年—前275年,亞歷山大里亞),古希臘數學家,被稱為「幾何之父」。他活躍于托勒密一世(公元前323年-前283年)時期的亞歷山大里亞,他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎,提出五大公設,發展歐幾里得幾何,被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關於透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品,是幾何學的奠基人。

阿基米德

  阿基米德(Archimedes 公元前287年—公元前212年),古希臘哲學家、數學家、物理學家。出生於西西里島的敘拉古。阿基米德到過亞歷山大里亞,據說他住在亞歷山大里亞時期發明了阿基米德式螺旋抽水機。後來阿基米德成為兼數學家與力學家的偉大學者,並且享有「力學之父」的美稱。阿基米德流傳於世的數學著作有10余種,多為希臘文手稿。阿基米德曾說過:給我一個支點,我可以翹起地球。這句話告訴我們:要有勇氣去尋找這個支點,要勇於尋找真理

高斯

  數學天才──高斯(C.F. Gauss)   高斯是德國數學家、物理學家和天文學家。   高斯一生下來,就對一切現象和事物十分好奇,而且決心弄個水落石出。7歲那年,高斯第一次上學了。   在全世界廣為流傳的一則故事說,高斯10歲時算出布特納給學生們出的將1到100的所有整數加起來的算術題,布特納當時給孩子們出的是一道更難的加法題:81297+81495+81693+…+100899。說完高斯也算完並把寫有答案的小石板交了上去,當時只有他寫的答案是正確的。數學史家們傾向於認為,高斯當時已掌握了等差數列求和的方法。一位年僅10歲的孩子,能獨立發現這一數學方法實屬很不平常。   高斯的學術地位,歷來被人們推崇得很高。他有「數學王子」、「數學家之王」的美稱。

艾薩克·牛頓

  牛頓(Isaac Newton) 是英國較為著名的物理學家和數學學家。

艾薩克·牛頓

學校里,牛頓是個古怪的孩子,就喜歡自己設計、自己動手,做風箏、日晷、滴漏之類器物。他對周圍的一切充滿好奇,但並不顯得特別聰明。   1665~1666年嚴重的鼠疫席捲了倫敦,劍橋離倫敦不遠,為恐波及,學校因此而停課,牛頓于1665年6月離校返鄉。一天在樹下閑坐,看到一個蘋果落在地上,便開始捉摸,這種將蘋果往下拉的力會不會也在控制著月球。由此牛頓推導出物體的下落速度改變率與重力的大小成正比,而重力大小與距地心距離的平方成反比。後來牛頓的稜鏡實驗也使他一舉成名。   牛頓最卓越的數學成就是創立了微積分,此外對解析幾何與綜合幾何都有比較顯著的貢獻。   牛頓有兩句名言是大家所熟知的。他在一封信中寫道:「如果我比別人看得遠些,那是因為我站在巨人們的肩上。」據說他還講過:「我不知道世人對我怎麼看;但在我自己看來就好像只是一個在海濱嬉戲的孩子,不時地為比別人找到一塊光滑的卵石或一隻更美麗的貝殼而感到高興,而我面前的

戈特弗里德·威廉·凡·萊布尼茨

浩瀚的真理海洋,卻還完全是個謎。」

萊布尼茨

  戈特弗里德·威廉·凡·萊布尼茨(Gottfried Wilhelm von Leibniz,1646年7月1日~1716年11月14日)德國最重要的自然科學家、數學家、物理學家、歷史學家和哲學家,一位舉世罕見的科學天才,和牛頓(1643年1月4日—1727年3月31日)同為微積分的創建人。他博覽群書,涉獵百科,對豐富人類的科學知識寶庫做出了不朽的貢獻。

萊昂哈德·歐拉

  萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler,1707年4月5日~1783年9月18日)是瑞士數學家和物理學家。他被一些數學史學者稱為歷史上最偉大的兩位數學家之一(另一位是卡爾·弗里德里克·高斯)。歐拉是第一個使用「函數」一詞來描述包含各種參數的表達式的人,例如:y = F(x) (函數的定義由萊布尼茲在1694年給出)。他是把微積分應用於物理學的先驅者之一。

勒奈·笛卡爾

  勒奈·笛卡爾(Rene Descartes),1596年3月31日生於法國都蘭城。笛卡爾是偉大的哲學家、物理學家、數學家、生理學家。解析幾何的創始人。笛卡爾是歐洲近代資產階級哲學的奠基人之一,黑格爾稱他為「現代哲學之父」。他自成體系,容唯物主義與唯心主義于一爐,在哲學史上產生了深遠的影響。同時,他又是一位勇於探索的科學家,他所建立的解析幾何在數學史上具有劃時代的意義。笛卡爾堪稱17世紀的歐洲哲學界和科學界最有影響的巨匠之一,被譽為「近代科學的始祖」。

中國數學發展史

  數學古稱算學,是中國古代科學中一門重要的學科,根據中國古代數學發展的特點,可以分為五個時期:萌芽;體系的形成;發展;繁榮和中西方數學的融合

中國古代數學的萌芽

  原始公社末期,私有制和貨物交換產生以後,數與形的概念有了進一步的發展,仰韶文化時期出土的陶器,上面已刻有表示1234的符號。到原始公社末期,已開始用文字元號取代結繩記事了。   西安半坡出土的陶器有用1~8個圓點組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形的圖案,半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方,確定平直,人們還創造了規、矩、准、繩等作圖與測量工具。據《史記·夏本紀》記載,夏禹治水時已使用了這些工具。   商代中期,在甲骨文中已產生一套十進位數字和記數法,其中最大的數字為三萬;與此同時,殷人用十個天乾和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期;在周代,又把以前用陰、陽符號構成的八卦表示八種事物發展為六十四卦,表示64種事物。   公元前一世紀的《周髀算經》提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠的方法,並舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環矩可以為圓等例子。《禮記·內則》篇提到西周貴族子弟從九歲開始便要學習數目和記數方法,他們要受禮、樂、XX、馭、書、數的訓練,作為「六藝」之一的數已經開始成為專門的課程。   春秋戰國之際,籌算已得到普遍的應用,籌算記數法已使用十進位值制,這種記數法對世界數學的發展是有劃時代意義的。這個時期的測量數學在生產上有了廣泛應用,在數學上亦有相應的提高。   戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展,尤其是對於正名和一些命題的爭論直接與數學有關。名家認為經過抽象以後的名詞概念與它們原來的實體不同,他們提出「矩不方,規不可以為圓」,把「大一」(無窮大)定義為「至大無外」,「小一」(無窮小)定義為「至小無內」。還提出了「一尺之棰,日取其半,萬世不竭」等命題。   而墨家則認為名來源於物,名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數學定義。例如圓、方、平、直、次(相切)、端(點)等等。   墨家不同意「一尺之棰」的命題,提出一個「非半」的命題來進行反駁:將一線段按一半一半地無限分割下去,就必將出現一個不能再分割的「非半」,這個「非半」就是點。   名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列,墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結果。名家和墨家的數學定義和數學命題的討論,對中國古代數學理論的發展是很有意義的。

體系的形成

  秦漢是封建社會的上升時期,經濟和文化均得到迅速發展。中國古代數學體系正是形成於這個時期,它的主要標誌是算術已成為一個專門的學科,以及以《九章算術》為代表的數學著作的出現。   《九章算術》是戰國、秦、漢封建社會創立並鞏固時期數學發展的總結,就其數學成就來說,堪稱是世界數學名著。例如分數四則運算、今有術(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數值解法)、盈不足術(西方稱雙設法)、各種面積體積公式、線性方程組解法、正負數運算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數的方法)等,水平都是很高的。其中方程組解法和正負數加減法則在世界數學發展上是遙遙領先的。就其特點來說,它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數學完全不同的獨立體系。   《九章算術》有幾個顯著的特點:採用按類分章的數學問題集的形式;算式都是從籌算記數法發展起來的;以算術、代數為主,很少涉及圖形性質;重視應用,缺乏理論闡述等。   最後成書于東漢初年的《九章算術》,排除了戰國時期在百家爭鳴中出現的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論,偏重於與當時生產、生活密切相結合的數學問題及其解法,這與當時社會的發展情況是完全一致的。   《九章算術》在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本,並成為這些國家當時的數學教科書。它的一些成就如十進位值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯,並通過印度以及阿拉伯傳到歐洲,促進了世界數學的全新發展喔。

中國古代數學的發展

  魏、晉時期出現的玄學,不為漢儒經學束縛,思想比較活躍;它詰辯求勝,又能運用邏輯思維,分析義理,這些都有利於數學從理論上加以提高。吳國趙爽注《周髀算經》,漢末魏初徐岳撰《九章算術》注,魏末晉初劉徽撰《九章算術》注、《九章重差圖》都是出現在這個時期。趙爽與劉徽的工作為中國古代數學體系奠定了理論基礎。   趙爽是中國古代對數學定理和公式進行證明與推導的最早的數學家之一。他在《周髀算經》書中補充的「勾股圓方圖及注」和「日高圖及注」是十分重要的數學文獻。在「勾股圓方圖及注」中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的五個公式;在「日高圖及注」中,他用圖形面積證明漢代普遍應用的重差公式,趙爽的工作是帶有開創性的,在中國古代數學發展中佔有重要地位。   劉徽約與趙爽同時,他繼承和發展了戰國時期名家和墨家的思想,主張對一些數學名詞特別是重要的數學概念給以嚴格的定義,認為對數學知識必須進行「析理」,才能使數學著作簡明嚴密,利於讀者。他的《九章算術》注不僅是對《九章算術》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導,而且在論述的過程中有很大的發展。劉徽創造割圓術,利用極限的思想證明圓的面積公式,並首次用理論的方法算得圓周率為 157/50和 3927/1250。   劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恆為2:1,解決了一般立體體積的關鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓台的體積時,劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。   東晉以後,中國長期處於戰爭和南北分裂的狀態。祖沖之父子的工作就是經濟文化南移以後,南方數學發展的具有代表性的工作,他們在劉徽注《九章算術》的基礎上,把傳統數學大大向前推進了一步。他們的數學工作主要有:計算出圓周率在3.1415926~3.1415927之間;提出祖暅原理;提出二次與三次方程的解法等。   據推測,祖沖之在劉徽割圓術的基礎上,算出圓內接正6144邊形和正12288邊形的面積,從而得到了這個結果。他又用新的方法得到圓周率兩個分數值,即約率22/7和密率355/113。祖沖之這一工作,使中國在圓周率計算方面,比西方領先約一千年之久;   祖沖之之子祖暅總結了劉徽的有關工作,提出「冪勢既同則積不容異」,即等高的兩立體,若其任意高處的水平截面積相等,則這兩立體體積相等,這就是著名的祖暅公理。祖暅應用這個公理,解決了劉徽尚未解決的球體積公式。   隋煬帝好大喜功,大興土木,客觀上促進了數學的發展。唐初王孝通的《緝古算經》,主要討論土木工程中計算土方、工程分工、驗收以及倉庫和地窖的計算問題,反映了這個時期數學的情況。王孝通在不用數學符號的情況下,立出數字三次方程,不僅解決了當時社會的需要,也為後來天元術的建立打下基礎。此外,對傳統的勾股形解法,王孝通也是用數字三次方程解決的。   唐初封建統治者繼承隋制,656年在國子監設立算學館,設有算學博士和助教,學生30人。由太史令李淳風等編纂註釋《算經十書》,作為算學館學生用的課本,明算科考試亦以這些算書為準。李淳風等編纂的《算經十書》,對保存數學經典著作、為數學研究提供文獻資料方面是很有意義的。他們給《周髀算經》、《九章算術》以及《海島算經》所作的註解,對讀者是有幫助的。隋唐時期,由於曆法的需要,天算學家創立了二次函數的內插法,豐富了中國古代數學的內容。   算籌是中國古代的主要計算工具之一,它具有簡單、形象、具體等優點,但也存在布籌佔用面積大,運籌速度加快時容易擺弄不正而造成錯誤等缺點,因此很早就開始進行改革。其中太乙算、兩儀算、三才算和珠算都是用珠的槽算盤,在技術上是重要的改革。尤其是「珠算」,它繼承了籌算五升十進與位值制的優點,又克服了籌算縱橫記數與置籌不便的缺點,優越性十分明顯。但由於當時乘除演算法仍然不能在一個橫列中進行。算珠還沒有穿檔,攜帶不方便,因此仍沒有普遍應用。   唐中期以後,商業繁榮,數字計算增多,迫切要求改革計算方法,從《新唐書》等文獻留下來的算書書目,可以看出這次演算法改革主要是簡化乘、除演算法,唐代的演算法改革使乘除法可以在一個橫列中進行運算,它既適用於籌算,也適用於珠算。

中國古代數學的繁榮

  960年,北宋王朝的建立結束了五代十國割據的局面。北宋的農業、手工業、商業空前繁榮,科學技術突飛猛進,火藥、指南針、印刷術三大發明就是在這種經濟高漲的情況下得到廣泛應用。1084年秘書省第一次印刷出版了《算經十書》,1213年鮑擀之又進行翻刻。這些都為數學發展創造了良好的條件。   從11~14世紀約300年期間,出現了一批著名的數學家和數學著作,如賈憲的《黃帝九章演算法細草》,劉益的《議古根源》,秦九韶的《數書九章》,李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》,楊輝的《詳解九章演算法》《日用演算法》和《楊輝演算法》,朱世傑的《算學啟蒙》《四元玉鑒》等,很多領域都達到古代數學的高峰,其中一些成就也是當時世界數學的高峰。   從開平方、開立方到四次以上的開方,在認識上是一個飛躍,實現這個飛躍的就是賈憲。楊輝在《九章演算法纂類》中載有賈憲「增乘開平方法」、「增乘開立方法」;在《詳解九章演算法》中載有賈憲的「開方作法本源」圖、「增乘方法求廉草」和用增乘開方法開四次方的例子。根據這些記錄可以確定賈憲已發現二項係數表,創造了增乘開方法。這兩項成就對整個宋元數學發生重大的影響,其中賈憲三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。   把增乘開方法推廣到數字高次方程(包括係數為負的情形)解法的是劉益。《楊輝演算法》中「田畝比類乘除捷法」卷,介紹了原書中22個二次方程和 1個四次方程,後者是用增乘開方法解三次以上的高次方程的最早例子。   秦九韶是高次方程解法的集大成者,他在《數書九章》中收集了21個用增乘開方法解高次方程(最高次數為10)的問題。為了適應增乘開方法的計算程序,秦九韶把常數項規定為負數,把高次方程解法分成各種類型。當方程的根為非整數時,秦九韶採取繼續求根的小數,或用減根變換方程各次冪的係數之和為分母,常數為分子來表示根的非整數部分,這是《九章算術》和劉徽注處理無理數方法的發展。在求根的第二位數時,秦九韶還提出以一次項係數除常數項為根的第二位數的試除法,這比西方最早的霍納方法早500多年。   元代天文學家王恂、郭守敬等在《授時歷》中解決了三次函數的內插值問題。秦九韶在「綴術推星」題、朱世傑在《四元玉鑒》「如象招數」題都提到內插法(他們稱為招差術),朱世傑得到一個四次函數的內插公式。   用天元(相當於x)作為未知數符號,立出高次方程,古代稱為天元術,這是中國數學史上首次引入符號,並用符號運算來解決建立高次方程的問題。現存最早的天元術著作是李冶的《測圓海鏡》。   從天元術推廣到二元、三元和四元的高次聯立方程組,是宋元數學家的又一項傑出的創造。留傳至今,並對這一傑出創造進行系統論述的是朱世傑的《四元玉鑒》。   朱世傑的四元高次聯立方程組表示法是在天元術的基礎上發展起來的,他把常數放在中央,四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上,其他各項放在四個象限中。朱世傑的最大貢獻是提出四元消元法,其方法是先擇一元為未知數,其他元組成的多項式作為這未知數的係數,列成若幹個一元高次方程式,然後應用互乘相消法逐步消去這一未知數。重複這一步驟便可消去其他未知數,最後用增乘開方法求解。這是線性方法組解法的重大發展,比西方同類方法早400多年。   勾股形解法在宋元時期有新的發展,朱世傑在《算學啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法,補充了《九章算術》的不足。李冶在《測圓海鏡》對勾股容圓問題進行了詳細的研究,得到九個容圓公式,大大豐富了中國古代幾何學的內容。   已知黃道與赤道的夾角和太陽從冬至點向春分點運行的黃經余弧,求赤經余弧和赤緯度數,是一個解球面直角三角形的問題,傳統曆法都是用內插法進行計算。元代王恂、郭守敬等則用傳統的勾股形解法、沈括用會圓術和天元術解決了這個問題。不過他們得到的是一個近似公式,結果不夠精確。但他們的整個推算步驟是正確無誤的,從數學意義上講,這個方法開闢了通往球面三角法的途徑。   中國古代計算技術改革的XX也是出現在宋元時期。宋元明的歷史文獻中載有大量這個時期的實用算術書目,其數量遠比唐代為多,改革的主要內容仍是乘除法。與演算法改革的同時,穿珠算盤在北宋可能已出現。但如果把現代珠算看成是既有穿珠算盤,又有一套完善的演算法和口訣,那麼應該說它最後完成於元代。   宋元數學的繁榮,是社會經濟發展和科學技術發展的必然結果,是傳統數學發展的必然結果。此外,數學家們的科學思想與數學思想也是十分重要的。宋元數學家都在不同程度上反對理學家的象數神秘主義。秦九韶雖曾主張數學與道學同出一源,但他後來認識到,「通神明」的數學是不存在的,只有「經世務類萬物」的數學;莫若在《四元玉鑒》序文中提出的「用假象真,以虛問實」則代表了高度抽象思維的思想方法;楊輝對縱橫圖結構進行研究,揭示出洛書的本質,有力地批判了象數神秘主義。所有這些,無疑是促進數學發展的重要因素

中西方數學的融合

  中國從明代開始XX了封建社會的晚期,封建統治者實行極權統治,宣傳唯心主義哲學,施行八股考試制度。在這種情況下,除珠算外,數學發展逐漸衰落。   16世紀末以後,西方初等數學陸續傳入中國,使中國數學研究出現一個中西融合貫通的局面;鴉片戰爭以後,近代數學開始傳入中國,中國數學便轉入一個以學習西方數學為主的時期;到19世紀末20世紀初,近代數學研究才真正開始。   從明初到明中葉,商品經濟有所發展,和這種商業發展相適應的是珠算的普及。明初《魁本對相四言雜字》和《魯班木經》的出現,說明珠算已十分流行。前者是兒童看圖識字的課本,後者把算盤作為家庭必需用品列入一般的木器傢具手冊中。   隨著珠算的普及,珠算演算法和口訣也逐漸趨於完善。例如王文素和程大位增加並改善撞歸、起一口訣;徐心魯和程大位增添加、減口訣並在除法中廣泛應用歸除,從而實現了珠算四則運算的全部口訣化;朱載墒和程大位把籌算開平方和開立方的方法應用到珠算,程大位用珠算解數字二次、三次方程等等。程大位的著作在國內外流傳很廣,影響很大。   1582年,義大利傳教士利瑪竇到中國,1607年以後,他先後與徐光啟翻譯了《幾何原本》前六卷、《測量法義》一卷,與李之藻編譯《圜容較義》和《同文算指》。1629年,徐光啟被禮部任命督修曆法,在他主持下,編譯《崇禎曆書》137卷。《崇禎曆書》主要是介紹歐洲天文學家第谷的地心學說。作為這一學說的數學基礎,希臘的幾何學,歐洲玉山若乾的三角學,以及納皮爾算籌、伽利略比例規等計算工具也同時介紹進來。

  在傳入的數學中,影響最大的是《幾何原本》。《幾何原本》是中國第一部數學翻譯著作,絕大部分數學名詞都是首創,其中許多至今仍在沿用。徐光啟認為對它「不必疑」、「不必改」,「舉世無一人不當學」。《幾何原本》是明清兩代數學家必讀的數學書,對他們的研究工作頗有影響。   其次應用最廣的是三角學,介紹西方三角學的著作有《大測》《割圓八線表》和《測量全義》。《大測》主要說明三角八線(正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割、正矢、余矢)的性質,造表方法和用表方法。《測量全義》除增加一些《大測》所缺的平面三角外,比較重要的是積化和差公式和球面三角。所有這些,在當時曆法工作中都是隨譯隨用的。   1646年,波蘭傳教士穆尼閣來華,跟隨他學習西方科學的有薛鳳柞、方中通等。穆尼閣去世后,薛鳳柞據其所學,編成《歷學會通》,想把中法西法融會貫通起來。《歷學會通》中的數學內容主要有比例對數表,《比例四線新表》和《三角演算法》。前兩書是介紹英國數學家納皮爾和布里格斯發明增修的對數。后一書除《崇禎曆書》介紹的球面三角外,尚有半形公式、半弧公式、德氏比例式、納氏比例式等。方中通所著《數度衍》對對數理論進行解釋。對數的傳入是十分重要,它在曆法計算中立即就得到應用。   清初學者研究中西數學有心得而著書傳世的很多,影響較大的有王錫闡《圖解》、梅文鼎《梅氏叢書輯要》(其中數學著作13種共40卷)、年希堯《視學》等。梅文鼎是集中西數學之大成者。他對傳統數學中的線性方程組解法、勾股形解法和高次冪求正根方法等方面進行整理和研究,使瀕於枯萎的明代數學出現了生機。年希堯的《視學》是中國第一部介紹西方透視學的著作。   清康熙皇帝十分重視西方科學,他除了親自學習天文數學外,還培養了一些人才和翻譯了一些著作。1712年康熙皇帝命梅彀成任蒙養齋彙編官,會同陳厚耀、何國宗、明安圖、楊道聲等編纂天文演算法書。1721年完成《律歷淵源》100卷,以康熙「御定」的名義于1723年出版。其中《數理精蘊》主要由梅彀成負責,分上下兩編,上編包括《幾何原本》、《演算法原本》,均譯自法文著作;下編包括算術、代數、平面幾何平面三角、立體幾何等初等數學,附有素數表、對數表和三角函數表。由於它是一部比較全面的初等數學百科全書,並有康熙「御定」的名義,因此對當時數學研究有一定影響。   雍正即位以後,對外閉關自守,導致西方科學停止輸入中國,對內實行高壓政策,致使一般學者既不能接觸西方數學,又不敢過問經世致用之學,因而埋頭于究治古籍。乾嘉年間逐漸形成一個以考據學為主的乾嘉學派。   隨著《算經十書》與宋元數學著作的收集與註釋,出現了一個研究傳統數學的XX。其中能突破舊有框框並有發明創造的有焦循、汪萊、李銳、李善蘭等。他們的工作,和宋元時代的代數學比較是青出於藍而勝於藍的;和西方代數學比較,在時間上晚了一些,但這些成果是在沒有受到西方近代數學的影響下獨立得到的。   與傳統數學研究出現XX的同時,阮元與李銳等編寫了一部天文數學家傳記—《疇人傳》,收集了從黃帝時期到嘉慶四年已故的天文學家和數學家270餘人(其中有數學著作傳世的不足50人),和明末以來介紹西方天文數學的傳教士41人。這部著作全由「掇拾史書,荃萃群籍,甄而錄之」而成,收集的完全是第一手的原始資料,在學術

數學家華羅庚

界頗有影響。   1840年鴉片戰爭以後,西方近代數學開始傳入中國。首先是英人在上海設立墨海書館,介紹西方數學。第二次鴉片戰爭后,曾國藩、李鴻章等官僚集團開展「洋務運動」,也主張介紹和學習西方數學,組織翻譯了一批近代數學著作。   其中較重要的有李善蘭與偉烈亞力翻譯的《代數學》《代微積拾級》;華蘅芳與英人傅蘭雅合譯的《代數術》《微積溯源》《決疑數學》;鄒立文與狄考文編譯的《形學備旨》《代數備旨》《筆算數學》;謝洪賚與潘慎文合譯的《代形合參》《八線備旨》等等。   《代微積拾級》是中國第一部微積分學譯本;《代數學》是英國數學家德·摩根所著的符號代數學譯本;《決疑數學》是第一部概率論譯本。在這些譯著中,創造了許多數學名詞和術語,至今還在應用,但所用數學符號一般已被淘汰了。戊戌變法以後,各地興辦新法學校,上述一些著作便成為主要教科書。   在翻譯西方數學著作的同時,中國學者也進行一些研究,寫出一些著作,較重要的有李善蘭的《尖錐變法解》《考數根法》;夏彎翔的《洞方術圖解》《致曲術》《致曲圖解》等等,都是會通中西學術思想的研究成果。   由於輸入的近代數學需要一個消化吸收的過程,加上清末統治者十分腐敗,在太平天國運動的衝擊下,在帝國主義列強的掠奪下,焦頭爛額,無暇顧及數學研究。直到1919年五四運動以後,中國近代數學的研究才真正開始。

中國著名數學家

劉徽

劉徽

  劉徽(生於公元250年左右),三國後期魏國人,是中國古代傑出的數學家,也是中國古典數學理論的奠基者之一.其生卒年月、生平事跡,史書上很少記載。據有限史料推測,他是魏晉時代山東鄒平人。終生未做官。他在世界數學史上,也佔有傑出的地位.他的傑作《九章算術注》和《海島算經》,是我國最寶貴的數學遺產.   《九章算術》約成書于東漢之初,共有246個問題的解法.在許多方面:如解聯立方程,分數四則運算,正負數運算,幾何圖形的體積面積計算等,都屬於世界先進之列,但因解法比較原始,缺乏必要的證明,而劉徽則對此均作了補充證明.在這些證明中,顯示了他在多方面的創造性的貢獻.他是世界上最早提出十進小數概念的人,並用十進小數來表示無理數的立方根.在代數方面,他正確地提出了正負數的概念及其加減運算的法則;改進了線性方程組的解法.在幾何方面,提出了"割圓術",即將圓周用內接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法.他利用割圓術科學地求出了圓周率π=3.14的結果.劉徽在割圓術中提出的"割之彌細,所失彌少,割之又割以至於不可割,則與圓合體而無所失矣",這可視為中國古代極限觀念的佳作.   《海島算經》一書中, 劉徽精心選編了九個測量問題,這些題目的創造性、複雜性和富有代表性,都在當時為西方所矚目.   劉徽思想敏捷,方法靈活,既提倡推理又主張直觀.他是我國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題的人.

祖沖之

  祖沖之(公元429年─公元500年)是我國傑出的數學家,科學家。南北朝時期人,漢族人,字文遠。生於未文帝元嘉六年,卒于齊昏侯永元二年。祖籍范陽郡遒縣(今河北淶水縣)。其主要貢獻在數學、天文曆法和機械三方面。在數學方面,他寫了《綴術》一書,被收入著名的《算經十書》中,作為唐代國子監算學課本,可惜後來失傳了。祖沖之還和兒子祖暅一起圓滿地利用「牟合方蓋」解決了球體積的計算問題,得到正確的球體積公式。在機械學方面,他設計製造過水碓磨、銅製機件傳動的指南車、千里船、定時器等等。此外,對音樂也研究。他是歷史上少有的博學多才的人物。月球上還有一座環形山是以他的名字命名的。

祖沖之

  祖沖之在數學上的傑出成就,是關於圓周率的計算.秦漢以前,人們以"徑一周三"做為圓周率,這就是"古率".後來發現古率誤差太大,圓周率應是"圓徑一而周三有餘",不過究竟余多少,意見不一.直到三國時期,劉徽提出了計算圓周率的科學方法--"割圓術",用圓內接正多邊形的周長來逼近圓周長.劉徽計算到圓內接96邊形, 求得π=3.14,並指出,內接正多邊形的邊數越多,所求得的π值越精確.祖沖之在前人成就的基礎上,經過刻苦鑽研,反覆演算,求出π在3.1415926與3.1415927之間.並得出了π分數形式的近似值,取22/7為約率,取355/113為密率,其中355/113取六位小數是3.141592,它是分子分母在16604以內最接近π值的分數.祖沖之究竟用什麼方法得出這一結果,現在無從考查.若設想他按劉徽的"割圓術"方法去求的話,就要計算到圓內接12288邊形,這需要花費多少時間和付出多麼巨大的勞動啊!由此可見他在治學上的頑強毅力和聰敏才智是令人欽佩的.祖沖之計算得出的密率, 外國數學家獲得同樣結果,已是一千多年以後的事了.為了紀念祖沖之的傑出貢獻,有些外國數學史家建議把π=叫做"祖率".   祖沖之博覽當時的名家經典,堅持實事求是,他從親自測量計算的大量資料中對比分析,發現過去曆法的嚴重誤差,並勇於改進,在他三十三歲時編製成功了《大明曆》,開闢了曆法史的新紀元.   祖沖之還與他的兒子祖暅(也是我國著名的數學家)一起,用巧妙的方法解決了球體體積的計算.他們當時採用的一條原理是:"冪勢既同,則積不

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