餘數

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定義 在整數的除法中,只有能整除與不能整除兩種情況。當不能整除時,就產生餘數,取餘數運算:a mod b = c 表示整數a除以整數b所得餘數為,如7÷3 = 2 ......1

數學術語

基本解釋

  1.指整數除法中被除數未被除盡部分。   例如27除以6,商數為4,餘數為3。

定義

  在整數的除法中,只有能整除與不能整除兩種情況。當不能整除時,就產生餘數,所以餘數問題在小學數學中非常重要。   取餘數運算:   a mod b = c 表示 整數a除以整數b所得餘數為c。   如 7 mod 3 = 1

性質

  餘數有如下一些重要性質(a,b,c均為自然數):   (1)餘數小於除數。   (2)被除數=除數×商+餘數;   除數=(被除數-餘數)÷商;   商=(被除數-餘數)÷除數;   餘數=被除數-除數×商。    (3)如果a,b除以c的餘數相同,那麼a與b的差能被c整除。例如,17與11除以3的餘數都是2,所以17-11能被3整除。   (4)a與b的和除以c的餘數(a、b兩數除以c在沒有餘數的情況下除外),等於a,b分別除以c的餘數之和(或這個和除以c的餘數)。例如,23,16除以5的餘數分別是3和1,所以(23+16)除以5的餘數等於3+1=4。注意:當餘數之和大於除數時,所求餘數等於餘數之和再除以c的餘數。例如,23,19除以5的餘數分別是3和4,所以(23+19)除以5的餘數等於(3+4)除以5的餘數。   (5)a與b的乘積除以c的餘數,等於a,b分別除以c的餘數之積(或這個積除以c的餘數)。例如,23,16除以5的餘數分別是3和1,所以(23×16)除以5的餘數等於3×1=3。注意:當餘數之積大於除數時,所求餘數等於餘數之積再除以c的餘數。例如,23,19除以5的餘數分別是3和4,所以(23×19)除以5的餘數等於(3×4)除以5的餘數。   性質(4)(5)都可以推廣到多個自然數的情形。

例題

  例1 5120除以一個兩位數得到的餘數是64,求這個兩位數。   分析與解:   由性質(2)知,除數×商=被除數-餘數。   5120-64=5056,   5056應是除數的整數倍。將5056分解質因數,得到   5056=64×79。   由性質(1)知,除數應大於64,再由除數是兩位數,得到除數在67~99之間,   符合題意的5056的約數只有79,所以這個兩位數是79。   例2 被除數、除數、商與餘數之和是2143,已知商是33,餘數是52,求被除數和除數。   解:因為被除數=除數×商+餘數=除數×33+52,   被除數=2143-除數-商-餘數=2143-除數-33-52=2058-除數,   所以 除數×33+52=2058-除數,所以 除數=(2058-52)÷34=59,   被除數=2058-59=1999。   答:被除數是1999,除數是59。   例3 甲、乙兩數的和是1088,甲數除以乙數商11余32,求甲、乙兩數。   解:因為 甲=乙×11+32,   所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088,   所以 乙=(1088-32)÷12=88,   甲=1088-乙=1000。   答:甲數是1000,乙數是88。   例4 有一個整數,用它去除70,110,160得到的三個餘數之和是50。求這個數。   分析與解:先由題目條件,求出這個數的大致範圍。因為50÷3=16……2,所以三個餘數中至少有一個大於16,推知除數大於16。由三個餘數之和是50知,除數不應大於70,所以除數在17~70之間。   由題意知(70+110+160)-50=290應能被這個數整除。將290分解質因數,得到290=2×5×29,290在17~70之間的約數有29和58。   因為110÷58=1……52>50,所以58不合題意。所求整數是29。   例5 求478×296×351除以17的餘數。   分析與解:先求出乘積再求餘數,計算量較大。根據性質(5),可先分別計算出各因數除以17的餘數,再求餘數之積除以17的餘數。   478,296,351除以17的餘數分別為2,7和11,(2×7×11)÷17=9……1。   所求餘數是1。   例6 甲、乙兩個代表團乘車去參觀,每輛車可乘36人。兩代表團坐滿若干輛車后,甲代表團餘下的11人與乙代表團餘下的成員正好又坐滿一輛車。參觀完,甲代表團的每個成員與乙代表團的每個成員兩兩合拍一張照片留念。如果每個膠卷可拍36張照片,那麼拍完最後一張照片后,相機里的膠卷還可拍幾張照片?   分析與解:甲代表團坐滿若干輛車后余11人,說明甲代表團的人數(簡稱甲數)除以36余11;兩代表團餘下的人正好坐滿一輛車,說明乙代表團余36-11=25(人),即乙代表團的人數(簡稱乙數)除以36余25;甲代表團的每個成員與乙代表團的每個成員兩兩合拍一張照片,共要拍「甲數×乙數」張照片,因為每個膠卷拍36張,所以最後一個膠卷拍的張數,等於「甲數×乙數」除以36的餘數。   因為甲數除以36余11,乙數除以36余25,所以「甲數×乙數」除以36的餘數等於11×25除以36的餘數。   (11×25)÷36=7……23,   即最後一個膠卷拍了23張,還可拍36-23=13(張)。   由例6看出,將實際問題轉化為我們熟悉的數學問題,有助於我們思考解題。   例7 5397被一個質數除,所得餘數是15.求這個質數.   解:這個質數能整除   5397-15=5382,   而 5382=2×31997×13×23.   因為除數要比餘數15大,除數又是質數,所以它只能是23.   當被除數較大時,求餘數的一個簡便方法是從被除數中逐次去掉除數的整數倍,從而得到餘數。   例8 求 645763除以7的餘數。   解:可以先去掉 7的倍數630000余15763,再去掉14000還餘下 1763,再去掉1400餘下363,再去掉350余13,最後得出餘數是6.這個過程可簡單地記成   645763→15763→1763→363→13→6.   如果演算能力強,上面過程可以更簡單地寫成:   645763→15000→1000→6.   帶余除法可以得出下面很有用的結論:   如果兩個數被同一個除數除餘數相同,那麼這兩個數之差就能被那個除數整除。   例9 有一個大於 1的整數,它除967,1000,2001得到相同的餘數,那麼這個整數是多少?   解:由上面的結論,所求整數應能整除 967,1000,2001的兩兩之差,即   1000-967=33=3×11,   2001-1000=1001=7×11×13,   2001-967=1034=2×11×47.   這個整數是這三個差的公約數11.   請注意,我們不必求出三個差,只要求出其中兩個就夠了。因為另一個差總可以由這兩個差得到。   例如,求出差1000-967與2001-1000,   那麼差   2001-967=(2001-1000)+(1000-967)   =1001+33   =1034.   從帶余除式,還可以得出下面結論:   甲、乙兩數,如果被同一除數來除,得到兩個餘數,那麼甲、乙兩數之和被這個除數除,它的餘數就是兩個餘數之和被這個除數除所得的餘數。   例如,57被13除余5,152被13除余9,那麼57+152=209被13除,餘數是5+9=14被 13除的餘數1.   例10 有一串數排成一行,其中第一個數是15,第二個數是40,從第三個數起,每個數恰好是前面兩個數的和,問這串數中,第1998個數被3除的餘數是多少?   解:我們可以按照題目的條件把這串數寫出來,再看每一個數被3除的餘數有什麼規律,但這樣做太麻煩。根據上面說到的結論,可以採取下面的做法,從第三個數起,把前兩個數被3除所得的餘數相加,然後除以3,就得到這個數被3除的餘數,這樣就很容易算出前十個數被3除的餘數,列表如下:   從表中可以看出,第九、第十兩數被3除的餘數與第一、第二兩個數被3除的餘數相同。因此這一串數被3除的餘數,每八個循環一次,因為   1998= 8×249+ 6,   所以,第1998個數被3除的餘數,應與第六個數被3除的餘數一樣,也就是2.   一些有規律的數,常常會循環地出現.我們的計算方法,就是循環制.計算鐘點是   1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.   這十二個數構成一個循環。   按照七天一輪計算天數是   日,一,二,三,四,五,六.這也是一個循環,相當於一些連續自然數被7除的餘數   0, 1, 2, 3, 4, 5, 6的循環,用循環制計算時間:鐘錶、星期、月、四季,說明人們很早就發現循環現象.用數來反映循環現象也是很自然的事。   循環現象,我們還稱作具有「周期性」,12個數的循環,就說周期是12,7個數的循環,就說周期是7.例 10中餘數的周期是8。研究數的循環,發現周期性和確定周期,是很有趣的事。   下面我們再舉出兩個餘數出現循環現象的例子。在講述例題之前,再講一個從帶余除式得出的結論:   甲、乙兩數被同一除數來除,得到兩個餘數.那麼甲、乙兩數的積被這個除數除,它的餘數就是兩個餘數的積,被這個除數除所得的餘數.   例如,37被11除余4,27被11除余5,37×27=999被 11除的餘數是 4×5=20被 11 除后的餘數 9。   1997=7×285+2,就知道1997×1997被7除的餘數是2×2=4.   例 11 191997被7除余幾?   解:從上面的結論知道,191997被7除的餘數與21997被7除的餘數相同.我們只要考慮一些2的連乘,被7除的餘數.   先寫出一列數   2,2×2=4,2×2×2 =8,   2×2×2×2=16,….   然後逐個用7去除,列一張表,看看有什麼規律。列表如下:   事實上,只要用前一個數被7除的餘數,乘以2,再被7除,就可以得到后一個數被7除的餘數.(為什麼?請想一想.)   從表中可以看出,第四個數與第一個數的餘數相同,都是2.根據上面對餘數的計算,就知道,第五個數與第二個數餘數相同,……因此,餘數是每隔3個數循環一輪。循環的周期是3。   1997=3×665 +2   就知道21997被7除的餘數,與21997 被 7除的餘數相同,這個餘數是4。   再看一個稍複雜的例子。   例12 70個數排成一行,除了兩頭的兩個數以外,每個數的三倍都恰好等於它兩邊兩個數的和.這一行最左邊的幾個數是這樣的:   0,1,3,8,21,55,….   問:最右邊一個數(第70個數)被6除余幾?   解:首先要注意到,從第三個數起,每一個數都恰好等於前一個數的3倍減去再前一個數:   3=1×3-0,   8=3×3-1,   21=8×3-3,   55=21×3-8,   ……   不過,真的要一個一個地算下去,然後逐個被6去除,那就太麻煩了。能否從前面的餘數,算出後面的餘數呢?能!同算出這一行數的辦法一樣(為什麼?),從第三個數起,餘數的計算辦法如下:   將前一個數的餘數乘3,減去再前一個數的餘數,然後被6除,所得餘數即是.   用這個辦法,可以逐個算出餘數,列表如下:   注意,在算第八個數的餘數時,要出現0×3-1這在小學數學範圍不允許,因為我們求被6除的餘數,所以我們可以 0×3加6再來減 1.   從表中可以看出,第十三、第十四個數的餘數,與第一、第二個數的餘數對應相同,就知道餘數的循環周期是 12.   70 =12×5+10.   因此,第七十個數被6除的餘數,與第十個數的餘數相同,也就是4.   在一千多年前的《孫子算經》中,有這樣一道算術題:   「今有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二,問物幾何?」按照今天的話來說:   一個數除以3余2,除以5余3,除以7余2,求這個數.   這樣的問題,也有人稱為「韓信點兵」.它形成了一類問題,也就是初等數論中解同余式.這類問題的有解條件和解的方法被稱為「中國剩餘定理」,這是由中國人首先提出的.目前許多小學數學的課外讀物都喜歡講這類問題,但是它的一般解法決不是小學生能弄明白的。這裡,我們通過兩個例題,對較小的數,介紹一種通俗解法。   例13 有一個數,除以3余2,除以4余1,問這個數除以12余幾?   解:除以3余2 的數有:   2, 5, 8, 11,14, 17, 20, 23….   它們除以12的餘數是:   2,5,8,11,2,5,8,11,….   除以4余1的數有:   1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29,….   它們除以12的餘數是:   1, 5, 9, 1, 5, 9,….   一個數除以12的餘數是唯一的.上面兩行餘數中,只有5是共同的,因此這個數除以12的餘數是5.   上面解法中,我們逐個列出被3除余2的整數,又逐個列出被4除余1的整數,然後逐個考慮被12除的餘數,找出兩者共同的餘數,就是被12除的餘數.這樣的列舉的辦法,在考慮的數不大時,是很有用的,也是同學們最容易接受的.   如果我們把例23的問題改變一下,不求被12除的餘數,而是求這個數.很明顯,滿足條件的數是很多的,它是   5+ 12×整數,   整數可以取0,1,2,…,無窮無盡.事實上,我們首先找出5后,注意到12是3與4的最小公倍數,再加上 12的整數倍,就都是滿足條件的數.這樣就是把「除以3余2,除以4余1」兩個條件合併成「除以12余5」一個條件.《孫子算經》提出的問題有三個條件,我們可以先把兩個條件合併成一個.然後再與第三個條件合併,就可找到答案.   例14 一個數除以 3余2,除以5余3,除以7余2,求符合條件的最小數.   解:先列出除以 3余2的數:   2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…,   再列出除以5余3的數:   3, 8, 13, 18, 23, 28,….   這兩列數中,首先出現的公共數是8.3與5的最小公倍數是15.兩個條件合併成一個就是   8+15×整數,   列出這一串數是   8, 23, 38,…,   再列出除以7余2的數   2, 9, 16, 23, 30,…,   就得出符合題目條件的最小數是23.   事實上,我們已把題目中三個條件合併成一個:被105除余23.   最後再看一個例子.   例15 在100 至200之間,有三個連續的自然數,其中最小的能被3整除,中間的能被5整除,最大的能被7整除,寫出這樣的三個連續自然數.   解:先找出兩個連續自然數,第一個能被3整除,第二個能被5整除(又是被3除余1).例如,找出9和10,下一個連續的自然數是11.   3和5的最小公倍數是15,考慮11加15的整數倍,使加得的數能被7整除.11+15×3=56能被7整除,那麼54,55,56這三個連續自然數,依次分別能被3,5,7整除.   為了滿足「在100至200之間」將54,55,56分別加上3,5,7的最小公倍數105.所求三數是   159, 160, 161.

在風水學中的應用

  生於2000年前的男性命卦怎麼算?   計算公式:(100一出生年末尾兩位數/9,所得餘數配合後天八卦順序,就可得知命卦。如餘數為5,為坤卦。   如生於1972年的男性,(10睢72)/9=28/9:3……1,餘數為1,1為坎,所以該男性的命卦為坎卦,屬於東四命。   按命擺風水催旺桃花運   想拍拖想了很久,但目標人物遲遲還未出現;又或者即使有拖拍也嗌霎多多,感情若即若離,這都代表了你的戀愛運程處於弱勢。若想扭轉這個局面,就要先按下列的公式,計計自己屬於什麼命,然後根據自己的九星命數,在家居布置上做適當的配合,便可催旺桃花,增強戀愛運。   要計算出自己屬什麼九星命數並不太困難,只要憑出生年份便能算出來,但要注意男性和女性的計算方法亦各不同。

例舉

  假設你的出生年份是1970年   男性的計算方法:   (100 - 出生年份最後兩位數) ÷9后得出的餘數   即:(100-70)÷9=30÷9=3余3   餘數的3便是九星命數,再根據這個數從下列的表格中查出自己的風水命。   女性的計算方法:   (出生年份最後兩位數 - 4 ) ÷ 9后得出的餘數   即:(70-4)÷9=66÷9=7余3   餘數的3便是九星命數。

九星命數對應表

  餘數 風水命所屬 五行所屬   1. 一白命 水 2. 二黑命 土 3. 三碧命 木   4. 四綠命 木 5.五黃命 土 6.六白命 金   7.七赤命 金 8.八白命 土 9.九紫命 火   如果計算也覺麻煩,可以查下的出生年份表,便知自己屬什麼命了。   一白命人的出生年份表   男性:1918,1927,1936,1945,1954,1963,1972,1981,1990,1999   女性:1914,1923,1932,1941,1950,1959,1968,1977,1986,1995   一白命的人,不論男女,選擇房屋以大廳的窗向正北、正南、正東或東南方為好,睡房或床頭最宜取北、南、東或東南方這四個吉方。   催旺桃花物品:在睡房南面擺放鑽石型飾物   有利情緣顏色:白及米白色   二黑命人的出生年份表   男性:1917,1926,1935,1944,1953,1962,1971,1980,1989,1998   女性:1915,1924,1933,1942,1951,1960,1969,1978,1987,1996   二黑命的人,不論男女,選擇房屋以大廳的窗向東北方為最佳,睡房或床頭也宜取東北或西南方。   催旺桃花物品:在東北或西南方放紅色的畫或地毯等物品.   有利情緣顏色:紅、橙、紫色   三碧命人的出生年份表   男性和女性的年份是相同的:1916,1925,1934,1943,1952,1961,1970,1979,1988,1997   三碧命的人,無論男女,選擇房屋以大廳向東南方為佳,床頭安在東南或西北都屬吉利。   催旺桃花物品:在西北位置擺放一對木製的男女公仔或方形物件,如木製的CD盒等。   有利情緣顏色: 綠,藍色.   四綠命人的出生年份表   男性∶1924,1933,1942,1951,1960,1969,1978,1987,1996   女性∶1926,1935,1944,1953,1962,1971,1980,1989,1998   四綠命的人,不論男女,選擇房屋以大廳向東南方為佳,床頭安在東南方,是大吉方位.此外,床安西南方亦好。   催旺桃花物品∶在東南方擺放一些波浪形的物件,如水晶母體等飾物.   有利情緣顏色:綠、淺藍、灰藍色。   五黃命人的出生年份表   男性∶1914,1923,1932,1941,1950,1959,1968,1977,1986,1995   女性∶1918,1927,1936,1945,1954,1963,1972,1981,1990,1999   五黃命的人,男性選擇房屋以大廳窗向東北方為最佳,睡房及床頭也宜取東北或西南方。   女性選擇房屋則以大廳窗向東北為佳,床頭安在西南方,是大吉方位。   催旺桃花物品:在東北或西南方放8粒小粉紅晶,或粉紅色的畫或地毯等物品。   有利情緣顏色:粉紅,粉紫,粉橙色。   六白命人的出生年份表   男性∶1922,1931,1940,1949,1958,1967,1976,1985,1994   女性∶1919,1928,1937,1946,1955,1964,1973,1982,1991   六白命的人,不論男女,選擇房屋以大廳窗向正東為佳,睡房及床頭宜取正西或正南方。   催旺桃花物品:在南方擺放金屬飾物。   有利情緣顏色:銀、白、金色。   七赤命人的出生年份表   男性∶1921,1930,1939,1948,1957,1966,1975,1984,1993   女性∶1920,1929,1938,1947,1956,1965,1974,1983,1992   七赤命的人,不論男女,選擇房屋以大廳窗向正西,西南,西北,東北方為佳,睡房也宜取東南向,床頭最好安在西北方.   催旺桃花物品:在東南方擺放銅製鍾或金色會動的圓形鍾。   有利情緣顏色:古銅、金黃、黃色、   八白命人的出生年份表   男性:1920,1929,1938,1947,1956,1965,1974,1983,1992   女性:1921,1930,1939,1948,1957,1966,1975,1984,1993   八白命的人,不論男女,選擇房屋以大廳窗向東北為佳,床頭最好安在西南方。   催旺桃花物品:在西南方擺放8粒粉紅水晶,紅色寶石或其它紅色的飾物。   有利情緣顏色:紫、紫紅、淺紫色。   九紫命人的出生年份表   男性:1919,1928,1937,1946,1955,1964,1973,1982,1991,2000   女性:1922,1931,1940,1949,1958,1967,1976,1985,1994,2003   九紫命的人,不論男女,選擇房屋以大廳窗向正南方或東南方為佳,床頭最好安在正南方。   催旺桃花物品:在東南方或正南方擺放一些綠色或紅色的植物。   有利情緣顏色:綠、紫色和紅色。