布爾

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布爾(Boole·George),男,英國偉大的數學家、邏輯學家,生於1815年,1864年去世。現在也用他的名字作電腦語言的一種變數形式,Boole布爾型變數,分別為True(真的)和 false(假的)。

個人履歷

  布爾(Boole·George)英國數學家及邏輯學家。1864年12月8日卒于愛爾蘭的科克。1815年12月21日出生於法國南部魯那格山區的古老村落——撒·雷旺,村中的利卡爾老師為他取名為約翰·安利。父親安東奧尼 ,母親費克瓦爾 。

布爾

人物生平

鞋匠之子

  布爾是鞋匠之子,他完全靠自己的力量爬上去。他原想做牧師,但是他十六歲時在私立學校教數學,到1835年他自己開辦一所學校。1849年,(儘管他沒有學位)他被任命為科克的女王學院的數學教授,從此他才有了比較安穩的生活保證。他一直在此學院度其餘生。

布爾代數

  布爾的大發現就是用一套符號來進行邏輯演算,大約二百年前萊布尼茲曾經摸索過一些。他通過仔細地選擇/使這些符號及運算類似於代數的符號及運算。在布爾代數中,符號可以按照固定的規則來處理。而得出合乎邏輯的結果。 布爾的前輩對是否進行這種研究一直猶豫不決。(它牽涉到改進亞里士多德的工作,、而人們對於改進亞里士多德的工作的嘗試總有點猶豫不決。)然而布爾敢於這麼干。1847年他出版了這方面的第一本書。書並不厚,但足以使他出名而使科克的學院聘他任教。1854年,他出版了《思維規律的研究》一書,其中完滿地討論了這個主題並奠定了現在所謂的符號邏輯的基礎。

邏輯數學

  邏輯的數學化(好比亞里士多德把音樂數學化)並沒有很快給當時的數學家留下印象。或許人們認為它只不過是錯綜複雜的文字遊戲而已。然而,後來發現,『符號邏輯對於建立數學的哲學是非常有用的(並且嘆實是必不可少的)。嘗試把數學建立在嚴格邏輯基礎上(從歐幾里得時起,已經整整二十一個世紀了,對於古人和一直到洛巴切夫斯基時代的追隨者們,歐幾里得似乎已經成功地完成這項任務)首先是弗雷格在進行,而懷特海和羅素使之達到頂峰:布爾代數就是用於這個目的。   布爾死於肺炎,這是由於他堅持上課而在十一月的冷雨中步行二英里淋濕后受涼而引起的。

自學成才

  布爾的父親是一位鞋匠.布爾青少年時期,在當地上了小學和短時間的商業學校.他自學了希臘語和拉丁語,後來又學會歐洲幾個國家的語言.從商業學校畢業后,布爾原想做一名牧師,但由於生活所迫,他在16歲那年接受了中學教師的職務,1831—1835年,先後在唐卡斯特和瓦丁頓的一些中學教書.就在這個時期,他對數學產生了深厚的興趣,並決定繼續自學數學.1835年,他在林肯市創辦了一所中學,仍是一面教書,一面自修高等數學.他先後攻讀了著名科學家I.牛頓(Newton)的《自然哲學的數學原理》(Philosophiae naturalis principia mathematica)和J.拉格朗日(Lagrange)的《解析函數論》(Théorie des function analytiques).1835年發表了他的第一篇科學論文「論牛頓」(On Newton). 21歲時,他就精通P.S.拉普拉斯(Laplace)的《天體力學》(Méca-nique céleste),這在當時被認為是最深奧的學問.這一事實足以證明他自學取得的成功.

正規教育

  1839年,24歲的布爾決心嘗試受正規教育,並申請進劍橋大學.當時《劍橋大學期刊》(Cambridge Mathematical Journal,布爾曾投稿的雜誌)的主編D.F.格雷戈里(Gregory)表示反對他去上大學,他說:   「如果你為了一個學位而決定上大學學習,那麼你就必須準備忍受大量不適合於習慣獨立思考的人的思想戒律.這裡,一個高級的學位要求在指定的課程上花費的辛勤勞動與才能訓練方面花費的勞動同樣多.如果一個人不能把自己的全部精力集中於學位考試的訓練,那麼在學業結束時,他很可能發現自己被淘汰了.」

關於分析中的一個普遍方法

  於是,布爾放棄了受高等教育的念頭,而潛心致力於他自己的數學研究.他寫了許多論文,其中包括線性變換方面的某種開拓性的工作[這一工作為後來的A.凱萊(Cayley)和J.J.西爾維斯特(Sylvester)所發展].布爾的主要貢獻在於利用代數的方法來研究推理、證明等邏輯問題.因而形成了代數學的一個獨立的分支,它為邏輯學的研究奠定了數學基礎.從這一基礎出發就發展出了布爾代數.1844年,他發表了著名的論文「關於分析中的一個普遍方法」(On a general method in analysis),因此獲皇家學會的獎章.

獲得榮譽

  1849年,34歲的布爾分別獲得牛津大學和都伯林大學的名譽博士學位.隨即被聘為愛爾蘭科克皇後學院(今愛爾蘭大學)的數學教授.從此,他才有了比較安穩的生活保證.他保持這個職位一直到15年後患病逝世為止.在此期間,他于1857年被推選為倫敦皇家學會會員.   1855年,布爾和G.愛維累斯特(Iwirester)爵士的侄女瑪麗·愛維累斯特(Mary Iwirester)結婚.他們的長女瑪麗嫁給數學家C.H.欣頓(Hinton),三個外孫都有科學建樹.另一個女兒艾麗西亞(Alicia)在四維幾何方面的研究中取得成果,以後又與數學家H.S.M.考克斯特(Coxeter)合作.第四個女兒露西(Lucy)成為英國在大學擔任化學教授的第一個婦女.布爾最小的女兒E.莉蓮(Lillian),便是受到廣泛閱讀的小說《牛虻》的作者 B. L.伏尼契(Voynich).   1864年12月8日,布爾因患肺炎(這是由於他堅持上課,在11月的冷雨中步行三公里而受涼引起的),不幸于愛爾蘭的科克去世,終年 49歲.

成就貢獻

  布爾被B.羅素(Russell)描寫成純粹數學的發現者.布爾的名字被用來作為表示某種數學體系的形容詞(甚至是不用大寫字母的).然而,這並沒有使布爾的名字真正家喻戶曉,它只是少數人給予的一種榮譽稱號.

研究方向

  布爾的研究大致可分為邏輯和數學兩部分.他在數學上的成就是多方面的.但在邏輯方面,他的主要貢獻就是用一套符號來進行邏輯演算,即邏輯的數學化.大約200年以前,G.W.萊布尼茨(Leibniz)曾經探索過這一問題,但最終沒有找到精確有效的表示方法.因為它牽涉到改進亞里士多德(Aristoteles)的工作,而人們對於改進亞里士多德的工作的嘗試總有點猶豫不決.布爾憑著他卓越的才幹,創造了邏輯代數系統,從而基本上完成了邏輯的演算工作.1847年,他出版了這方面的第一本書《邏輯的數學分析,論演繹推理的演演算法》(The mathematical analysis of logic,being an essay towards a calculus of deductive reasoning),此書並不厚,但足以使他出名,並且使科克的學院聘他任教.1854年,他又出版了《思維規律的研究,作為邏輯與概率的數學理論的基礎》 (An investigation into the laws of thought,on whichare founded the mathematical theories of logic and probability)一書,其中完滿地討論了這個主題並奠定了現在所謂的數理邏輯的基礎.為這一學科的發展鋪平了道路.

外延邏輯

  對於邏輯代數,布爾的方法是著重於外延邏輯(extensionallogic),即類(class)的邏輯.其中類或集合用x,y,z,…表示,而符號X,Y,Z,…則代表個體元素.用1表示萬有類,用0表示空類或零類.他用xy表示兩個集合的交[他稱這個運算為選拔(election)],即x與y所有共同元素的集合;還用x+y表示x中和y中所有元素的集合.[嚴格地講,對於布爾,加法只用於不相交的集合.後來,由W.S.傑文斯(Jevons)推廣了這個概念.]至於x的補x′,記作1-x.更一般地,x-y是由不是y的那些x所組成的類.包含關係,即x包含在y中,他寫成xy=x.等號=表示兩個類的同一性.

推理規程

  布爾相信,頭腦會立刻允許我們作一些初等的推理規程,這就是邏輯的公理.例如,矛盾律,即A不能既是B又是非B,這就是公理.它可以表示為   x(1-x)=0.   對於頭腦,下列關係也是顯然的:   xy=yx,   因而交的這個交換性是另一條公理.同樣明顯的是性質   xx=x.   這條公理違背了通常的代數.布爾認為可作為公理的還有   x+y=y+x   和 x(u+v)=xu+xv.   用這些公理可以把排中律說成   x+(1-x)=1,   就是說,任何東西不是x就是非x.布爾還把所有x都是Y表示成x(1-y)=0.所有Z都是x表示成z(1-x)=0,然後,他使用自己的展開方法消去x,解方程得z(1-y)=0.它的含義是:所有Z都是Y.這樣,布爾就用他的純代數方法,取消了三段論前兩個前提的中項,得出三段論的結論.另外,沒有X是Y可寫成xy=0;有些X是Y表成xy≠0;而有些X不是Y表成   x(1-y)≠0.

布爾代數的公理化方法的定義

  布爾試圖從這些公理出發,用公理所許可的規程去導出推理的規律.作為平凡的結論,他有1·x=x和0·x=0.後來,經德國數學家E.施深入研究,給出了布爾代數的公理化方法的定義:   (1)如果x和y都屬於類B,那麼x+y,xy和x′均屬於B;   (2)在所有的元素中存在一個元素0,使得對於每一個x都有x+0=x;存在一個元素1,使得對每個x都有x·1=x;   (3)x+y=y+x,x·y=y·x;   (4)x+(y·z)=(x+y)(x+z),x(y+z)=(x·y)+(x·z);   (5)對於每一個元素x,存在一個元素x′,使得x+x′=1並且xx′=0;   (6)在類B中至少存在兩個不同的元素.滿足上述6個條件的<B,+,·,-,0,1>為一個布爾代數.   布爾不僅構造了邏輯代數系統,而且十分明白地對系統作了邏輯解釋.他認為通過分析可以看清楚,一個系統可作多種解釋,並不影響所涉及的關係的真實性.所以,對於他的邏輯代數系統,他給出了兩種解釋:一種是類演算,一種是命題演算.在類演算里,他用符號1和0表示全類和空類.這些符號最初來自他的概率論——他的第二本書的一個獨立部分.在概率論中,1表示任何事件出現的所有概率之和,0表示不可能性.他還將乘和加分別看作合取和析取,並論證了它們也滿足前面的公理.在命題演算的解釋中,他令X,Y,Z等代表命題,並假定命題只能接受真、假兩種可能情況.1表示真,0表示假,XY表示X與Y的合取,即「X並且Y」;X+Y表示不相容的析取,即「X或Y,但不同真」;1-Y表示Y的否定.根據這種解釋,X為真記作X=1,X為假記作X=0.如果X真則Y假記作X(1-Y)=0,X真且Y真記作XY=1.因此,複合命題的真假就可以通過布爾演算由它的支命題的真假唯一決定.這就是現在使用的真值表示方法.用這種方法,使數學家、邏輯學家對邏輯有更廣泛更全面的理解.美國數學家F.T.貝爾(Bell)對此評論說:「布爾割下了邏輯學這條泥鰍的頭,使它固定,不能再游來滑去.」   布爾提出的類演算和命題演算的區別在於,在類演算中,X,Y,Z等可以取任一類(包括0和1)為值;而在命題演算中,X,Y,Z等只能取0和1兩個值.因此,命題演算系統可以看作二值代數系統.

代數理論

  布爾除了把他的邏輯代數應用到概率以外,並沒有進一步發展他的代數理論.相反地,他卻在其他數學分支方面工作.他對代數幾何學、微分方程、概率論、拓撲學和控制系統的研究都有所建樹,當代數學不少研究課題溯源於他的工作.例如:

(1)布爾空間

  如果令L是一個具有有限高度的布爾代數,X為(a)|a∈L}作為基底,在X中定義拓撲,則X是緊的完全的不連通的T1空間,而O(a)為X中的緊開集,那麼這樣的空間叫布爾空間.

(2)f叫n元布爾函數

  如果令a1,…,an∈{0,1},則A=(a1,…,an)=a1…an稱為0-1向量;若x1,…,xn∈B(B是一個布爾代數),則X=(x1,…,xn)=x1…xn稱為布爾向量.令x1=x,x0=x當f(A)≡1時,f(x)稱為簡單布爾函數.

(3)布爾方程

  若f1(X)和f2(X)是簡單布爾函數,則f1(X)=0及f2(X)=1稱為簡單布爾0-1方程.

(4)布爾差分

  令f(x1,…,xn)為布爾函數,稱如下的「異或運算」為f關於變數xi的布爾差分:   另外,布爾展開式和布爾核整則點也是人所共知的.   布爾一生共發表了50篇學術論文和兩部教科書,其中主要是「論牛頓」(1835)和《邏輯的數學分析,論演繹推理的演演算法》(1847),後者是在哲學家W.哈密頓(Hamilton)與布爾的朋友A.德摩根(De Morgan)的論爭刺激下完成的.著名的現代邏輯史家I.M.波享斯基(Bochenski)對此書有過評價:「我們能夠在布爾時代的著作《邏輯的數學分析》中找到一種示範形式展開的清晰表達,這方面他優於許多後人的著作,其中包括羅素的《數學原理》(Principia mathematica).」此外,布爾還著有《差分方程》(Difference equation)(1859)和《有限差計算》(Finite differencecalculus)(1860)等.   布爾以自學取得成就而著稱於世,成為19世紀數理邏輯的最傑出代表.以他的名字命名的布爾代數今天已發展為結構極為豐富的代數理論,並且無論在理論方面還是在實際應用方面都顯示出它的重要價值.特別是近幾十年來,布爾代數在自動化系統和電腦科學中已被廣泛應用.