等分

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等分 děngfēn equally divide 等量劃分。另「等分」就是將一個物體或數量等分幾份的一種解題方法。運用這種方法解答有關多邊形的面積問題,常會使人有「柳暗花明」的感受

目 錄1釋義

2等分在解題中的妙用

2.1 運用平行四邊形定義

2.2 運用梯形定義

2.3 運用三角形面積法等分

2.4 運用中點性質等分

3尺規十等分圓方法

1釋義1.等分 指方劑中各個藥物的用量相等。

2.等級名分。 晉 袁宏 《後漢紀·桓帝紀下》:「執誠說,修規矩,責名實,殊等分,則守文之風有益於時矣。」謂使分量或數額多寡相同北魏 賈思勰 《齊民要術·造神麴並酒等》:「大率:小麥,生、炒、蒸三種,等分。」《南史·蕭惠開傳》:「封秩鮮而兄弟甚多,若全關一人,則在我所讓,若人人等分,又事可悲恥。」 明 李時珍本草綱目·序例上》:「今方家雲等分者,非分兩之分,謂諸葯斤兩多少皆同爾,多是丸散用之。」

2等分在解題中的妙用運用平行四邊形定義例1 求圖1正六邊形的面積。(單位:厘米)

分析與解 將正六邊形按圖2所示等分成3個平行四邊形。所以,正六邊形的面積為:37.5×(65÷2)×3=3656.25(平方厘米)

例2 如圖3,四邊都相等的兩個完全相同的四邊形,在兩邊的中點處部分重合。已知重合部分的面積是8平方厘米。求陰影部分的面積。

分析與解 將圖3按圖4所示等分成7個棱形。所以,陰影部分的面積為:8×6=48(平方厘米)

運用梯形定義例3 如圖5所示,求出中隊旗的面積。(單位:厘米)

分析與解 將圖5按圖6所示等分成2個梯形。所以,中隊旗的面積為:

(60+80)×30÷2×2=4200(平方厘米)

例4 將正方形的四條邊分別向兩端各延長一倍,連接8個端點得到一個八邊形(如圖7),求陰影部分的面積。

分析與解 將八邊形按圖8所示等分成4個梯形。所以,陰影部分的面積為:

(2+2×2)×2÷2×4=24(平方厘米)

運用三角形面積法等分例5 如圖9,梯形的面積是36平方厘米,BE是BC的一半。求陰影部分的面積。

分析與解 將梯形按圖10所示等分成3個等底等高的三角形。所以,陰影部分的面積為:36÷3=12(平方厘米)

例6 如圖11,平行四邊形的面積是49平方厘米,E是底邊上的中點。求陰影部分的面積。

分析與解 將平行四邊形按圖12所示等分成4個等底等高的三角形。所以,陰影部分的面積為:49÷4=12.25(平方厘米)

運用中點性質等分例7 如圖13,長方形ABCD的長是10厘米,寬是6厘米,E、F分別是AB和AD的中點。求陰影部分的面積。

分析與解 將陰影部分等分成與△AEF完全相等的3個三角形(如圖14)。所以,陰影部分的面積為:(10÷2)×(6÷2)÷2×3=22.5(平方厘米)

例8 如圖15,一張邊長是4厘米的正方形紙,剪去兩鄰邊中點連線的一個角,求剩下的面積。

分析與解 將正方形等分成8份(如圖16),其中剪去的面積占1份。所以,剩下的面積為(4×4÷8×7

3尺規十等分圓方法凡是用尺規可作的圖,都可只用圓規作出(不包括連續點)。此題也不例外。方法如下。

注意:下面的作圖只用圓規,不用直尺。並把「以點O為圓心,以AB為直徑作圓」簡寫做「作圓(O,AB)」

設半徑為R,十邊形邊長為a,則a^2=R*(R-a)。解得,a=R*(5^(1/2)-1)/2.

利用六等分圓周的方法可以求得2a,3a,4a……na……。我們可以利用下面的方法求a/n,在圓(O,na)取點A作圓(A,AB=a),交點為B,B1。再作菱形BAB1O1,得AO1=a/n。至此,我們可作一條已知線段的任意有理數倍數。

已知線段的任意無理數倍數(只要尺規作圖能作的)也都可單用直尺作出,下面只說可作形如a*n^(1/2)的線段可作。

利用六等分圓周的方法可以求得a*3^(1/2)的線段,若再作菱形使其一條對角線為2a,一邊為a*3^(1/2),則另一條對角線長為a*2^(1/2)。若對角線和邊長分別改為2a,3a,則另一條對角線長為a*5^(1/2)。下面幾個算式是:6=(2*2^(1/2))^2-(2^(1/2))^2,7=9-2,10=12-2,11=16-5,12=16-4,13=25-12,14=16-2,15=16-1,17=32-15,……。

相關文獻基於雜訊分佈等分位點和均勻設計的外表設計-機械工程學報-2011年 第4期 (47)

新型三等分Wilkinson功分器在高效率功放中的應用-電訊技術-2011年 第8期 (51)

基於幅值等分的數字化正弦信號生成的設計-電子設計工程-2011年 第14期 (19)

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1釋義2等分在解題中的妙用2.1運用平行四邊形定義2.2運用梯形定義2.3運用三角形面積法等分2.4運用中點性質等分3尺規十等分圓方法

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1釋義1.等分 指方劑中各個藥物的用量相等。

2.等級名分。 晉 袁宏 《後漢紀·桓帝紀下》:「執誠說,修規矩,責名實,殊等分,則守文之風有益於時矣。」謂使分量或數額多寡相同。 北魏 賈思勰 《齊民要術·造神麴並酒等》:「大率:小麥,生、炒、蒸三種,等分。」《南史·蕭惠開傳》:「封秩鮮而兄弟甚多,若全關一人,則在我所讓,若人人等分,又事可悲恥。」 明 李時珍 《本草綱目·序例上》:「今方家雲等分者,非分兩之分,謂諸葯斤兩多少皆同爾,多是丸散用之。」

2等分在解題中的妙用運用平行四邊形定義例1 求圖1正六邊形的面積。(單位:厘米)

分析與解 將正六邊形按圖2所示等分成3個平行四邊形。所以,正六邊形的面積為:37.5×(65÷2)×3=3656.25(平方厘米)

例2 如圖3,四邊都相等的兩個完全相同的四邊形,在兩邊的中點處部分重合。已知重合部分的面積是8平方厘米。求陰影部分的面積。

分析與解 將圖3按圖4所示等分成7個棱形。所以,陰影部分的面積為:8×6=48(平方厘米)

運用梯形定義例3 如圖5所示,求出中隊旗的面積。(單位:厘米)

分析與解 將圖5按圖6所示等分成2個梯形。所以,中隊旗的面積為:

(60+80)×30÷2×2=4200(平方厘米)

例4 將正方形的四條邊分別向兩端各延長一倍,連接8個端點得到一個八邊形(如圖7),求陰影部分的面積。

分析與解 將八邊形按圖8所示等分成4個梯形。所以,陰影部分的面積為:

(2+2×2)×2÷2×4=24(平方厘米)

運用三角形面積法等分例5 如圖9,梯形的面積是36平方厘米,BE是BC的一半。求陰影部分的面積。

分析與解 將梯形按圖10所示等分成3個等底等高的三角形。所以,陰影部分的面積為:36÷3=12(平方厘米)

例6 如圖11,平行四邊形的面積是49平方厘米,E是底邊上的中點。求陰影部分的面積。

分析與解 將平行四邊形按圖12所示等分成4個等底等高的三角形。所以,陰影部分的面積為:49÷4=12.25(平方厘米)

運用中點性質等分例7 如圖13,長方形ABCD的長是10厘米,寬是6厘米,E、F分別是AB和AD的中點。求陰影部分的面積。

分析與解 將陰影部分等分成與△AEF完全相等的3個三角形(如圖14)。所以,陰影部分的面積為:(10÷2)×(6÷2)÷2×3=22.5(平方厘米)

例8 如圖15,一張邊長是4厘米的正方形紙,剪去兩鄰邊中點連線的一個角,求剩下的面積。

分析與解 將正方形等分成8份(如圖16),其中剪去的面積占1份。所以,剩下的面積為(4×4÷8×7

3尺規十等分圓方法凡是用尺規可作的圖,都可只用圓規作出(不包括連續點)。此題也不例外。方法如下。

注意:下面的作圖只用圓規,不用直尺。並把「以點O為圓心,以AB為直徑作圓」簡寫做「作圓(O,AB)」

設半徑為R,十邊形邊長為a,則a^2=R*(R-a)。解得,a=R*(5^(1/2)-1)/2.

利用六等分圓周的方法可以求得2a,3a,4a……na……。我們可以利用下面的方法求a/n,在圓(O,na)取點A作圓(A,AB=a),交點為B,B1。再作菱形BAB1O1,得AO1=a/n。至此,我們可作一條已知線段的任意有理數倍數。

已知線段的任意無理數倍數(只要尺規作圖能作的)也都可單用直尺作出,下面只說可作形如a*n^(1/2)的線段可作。

利用六等分圓周的方法可以求得a*3^(1/2)的線段,若再作菱形使其一條對角線為2a,一邊為a*3^(1/2),則另一條對角線長為a*2^(1/2)。若對角線和邊長分別改為2a,3a,則另一條對角線長為a*5^(1/2)。下面幾個算式是:6=(2*2^(1/2))^2-(2^(1/2))^2,7=9-2,10=12-2,11=16-5,12=16-4,13=25-12,14=16-2,15=16-1,17=32-15,……。


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